[Trigonométrie] Recherche de relations
Publié : 11 novembre 2013, 15:59
Bonjour,
Un petit problème axé sur la recherche de relations en trigonométrie.
Au départ, il faut soigneusement choisir les identités pour optimiser les calculs et la rédaction...
Je crois quelles sont utiles pour résoudre des équations et trouver certaines primitives ?
1.) Vérifier les deux égalités suivantes :
1.a) $\dfrac{1-\cos x}{\sin x}=\dfrac{\sin x}{1+\cos x}=\tan\left(\dfrac{x}{2}\right);$
1.b) $\dfrac{1-\sin x}{\cos x}=\dfrac{\cos x}{1+\sin x}=\tan\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{x}{2}\right).$
2.a) En déduire l'expression de : $\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}$ en fonction de $\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)=t$;
2.b) De même, exprimer $\dfrac{1-\sin x}{1+\sin x}$ en fonction de $\tan\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{x}{2}\right)=u.$
____________________________________________________________
Rappel utile : la propriété des rapports égaux (produit en croix) : $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\iff\dfrac{d}{c}=\dfrac{b}{a}.$
1.a) $\sin^2x+cos^2x=1\iff\sin x\times\sin x=(1-\cos x)(1+\cos x)\iff\dfrac{1-\cos x}{\sin x}=\dfrac{\sin x}{1+\cos x};$
A partir de : $\sin 2x=2\sin x\cos x\quad$ et $\quad 1+\cos 2x=2\cos^2x$,
$\quad\dfrac{\sin x}{1+\cos x}=\dfrac{2\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)}{2\cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right)}=\tan\left(\dfrac{x}{2}\right).$
1.b) $\sin^2x+cos^2x=1\iff(1-\sin x)(1+\sin x)=\cos x\times\cos x\iff\dfrac{1-\sin x}{\cos x}=\dfrac{\cos x}{1+\sin x}.$
Partant de : $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x\,$ et $\,\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x,\,$ si on pose : $X=\dfrac{\pi}{2}-x,$
suivant le résultat précédent :
$\quad\dfrac{1-\sin x}{\cos x}=\dfrac{1-\cos X}{\sin X}=\tan\left(\dfrac{X}{2}\right)=\tan\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{x}{2}\right).$
Pouvez-t-on démontrer différemment cette relation ?
2.a) $\dfrac{1-\cos x}{\sin x}\times\dfrac{\sin x}{1+\cos x}=\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}=\tan^2\left(\dfrac{x}{2}\right)=t^2.$
2.b) $\dfrac{1-\sin x}{\cos x}\times\dfrac{\cos x}{1+\sin x}=\dfrac{1-\sin x}{1+\sin x}=\tan^2\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{x}{2}\right)=u^2.$
C'est fini, mais à la rédaction j'ai pu commettre des abus d'écritures ou des omissions ?
Merci pour vos commentaires
Un petit problème axé sur la recherche de relations en trigonométrie.
Au départ, il faut soigneusement choisir les identités pour optimiser les calculs et la rédaction...
Je crois quelles sont utiles pour résoudre des équations et trouver certaines primitives ?
1.) Vérifier les deux égalités suivantes :
1.a) $\dfrac{1-\cos x}{\sin x}=\dfrac{\sin x}{1+\cos x}=\tan\left(\dfrac{x}{2}\right);$
1.b) $\dfrac{1-\sin x}{\cos x}=\dfrac{\cos x}{1+\sin x}=\tan\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{x}{2}\right).$
2.a) En déduire l'expression de : $\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}$ en fonction de $\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)=t$;
2.b) De même, exprimer $\dfrac{1-\sin x}{1+\sin x}$ en fonction de $\tan\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{x}{2}\right)=u.$
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Rappel utile : la propriété des rapports égaux (produit en croix) : $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\iff\dfrac{d}{c}=\dfrac{b}{a}.$
1.a) $\sin^2x+cos^2x=1\iff\sin x\times\sin x=(1-\cos x)(1+\cos x)\iff\dfrac{1-\cos x}{\sin x}=\dfrac{\sin x}{1+\cos x};$
A partir de : $\sin 2x=2\sin x\cos x\quad$ et $\quad 1+\cos 2x=2\cos^2x$,
$\quad\dfrac{\sin x}{1+\cos x}=\dfrac{2\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)}{2\cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right)}=\tan\left(\dfrac{x}{2}\right).$
1.b) $\sin^2x+cos^2x=1\iff(1-\sin x)(1+\sin x)=\cos x\times\cos x\iff\dfrac{1-\sin x}{\cos x}=\dfrac{\cos x}{1+\sin x}.$
Partant de : $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x\,$ et $\,\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x,\,$ si on pose : $X=\dfrac{\pi}{2}-x,$
suivant le résultat précédent :
$\quad\dfrac{1-\sin x}{\cos x}=\dfrac{1-\cos X}{\sin X}=\tan\left(\dfrac{X}{2}\right)=\tan\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{x}{2}\right).$
Pouvez-t-on démontrer différemment cette relation ?
2.a) $\dfrac{1-\cos x}{\sin x}\times\dfrac{\sin x}{1+\cos x}=\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}=\tan^2\left(\dfrac{x}{2}\right)=t^2.$
2.b) $\dfrac{1-\sin x}{\cos x}\times\dfrac{\cos x}{1+\sin x}=\dfrac{1-\sin x}{1+\sin x}=\tan^2\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{x}{2}\right)=u^2.$
C'est fini, mais à la rédaction j'ai pu commettre des abus d'écritures ou des omissions ?
Merci pour vos commentaires