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Bonsoir Job;

Pourriez vous m'aider dans la résolution de ces questions sur les suites :

la question 1) c et les questions 2) a) b) et 3)

Bonjour nico

1) c) Par hypothèse $u_0\leq v_0$
Pour $n\geq 0,\ v_{n+1}^2-u_{n+1}^2$ est un carré (question b) donc positif. Par conséquent $v_{n+1}^2\geq u_{n+1}^2$ et comme $v_{n+1}$ et $u_{n+1}$ sont positifs, on en déduit que $u_{n+1}\leq v_{n+1}$

2) a) $u_{n+1}-u_n=\frac{u_n+v_n}{2} -u_n =\frac{v_n-u_n}{2} \geq 0$ d'près la question 1) c).
La suite $(u_n)$ est donc croissante.

b) $v_{n+1}^2-v_n^2=\frac{u_n^2+v_n^2}{2} -v_n^2=\frac{u_n^2-v_n^2}{2}\leq 0$ car $0\leq u_n\leq v_n$
La suite $(v_n)$ est donc décroissante.

3) De la question 2 et de la question 1) c), on déduit que $\forall n \in {\mathbb N},\ u_0\leq u_n \leq v_n\leq v_0$
La suite $(u_n)$ est croissante majorée par $v_0=b$ donc elle converge.
La suite $(v_n)$ est décroissante, minorée par $u_0=a$ donc elle converge.