Math-Aide

Bonjour, je voudrais de l'aide pour cet exercice.
MERCI D'AVANCE

Bonjour

1) la fonction est définie si $x\geq 0$ et $x\neq 0$ donc $D=]0,+\infty[$

2) a) $f(x)-f(y)=\frac{1+\sqrt x}{x}-\frac{1+\sqrt y}{y}=\frac{y-x+y\sqrt x -x\sqrt y}{xy}$
$\frac{f(x)-f(y)}{x-y} =\frac{-1}{xy} +\frac{y\sqrt x -x\sqrt y}{xy(x-y)}$
$\frac{y\sqrt x -x\sqrt y}{xy(x-y)}=\frac{(y\sqrt x -x\sqrt y)(y\sqrt x +x\sqrt y)}{xy(x-y)(y\sqrt x +x\sqrt y)}=\frac{y^2x-xy^2}{xy(x-y)(y\sqrt x +x\sqrt y)}=\frac{xy(y-x)}{xy(x-y)(y\sqrt x +x\sqrt y)}=\frac{-1}{y\sqrt x +x\sqrt y}$
Donc $\frac{f(x)-f(y)}{x-y} =-(\frac{1}{xy}+\frac{1}{y\sqrt x +x\sqrt y})$

b) Quels que soient les réels strictement positifs $x$ et $y$, $\frac{f(x)-f(y)}{x-y}<0$ donc la fonction $f$ est strictement décroissante.

3) a) $\frac{1+\sqrt x}{x}=m \Longleftrightarrow \sqrt x =mx-1$
$\sqrt x>0$ donc cette équation équivaut à $\left\{\begin{array}{rcl} mx&\geq& 1 \\ (\sqrt x)^2&=&(mx-1)^2\end{array}\right.$
Ce qui donne comme équation $x=m^2x^2-2mx+1$ soit $m^2x^2 -(2m+1)x +1=0$

b) $\Delta =(2m+1)^2-4m^2=4m+1>0$
$x_1=\frac{2m+1-\sqrt {4m+1}}{2m^2}\ ;\ x_2=\frac{2m+1+\sqrt {4m+1}}{2m^2}$

c) $x_1-\frac{1}{m}= \frac{1-\sqrt {4m+1}}{2m^2}\ ;\ x_2-\frac{1}{m}= \frac{1+\sqrt {4m+1}}{2m^2}$
$\frac{mx_1-1}{m}=\frac{1-\sqrt {4m+1}}{2m^2}$ or $1-\sqrt {4m+1}<0$ donc $mx_1-1<0$ soit $mx_1<0$ donc $x_1$ ne remplit pas la condition $mx\geq 1$
Par contre $x_2$ remplit la première condition donc la seule solution est $x_2$

3) Pour tout $m>0$, l'équation $f(x)=m $ admet une solution et une seule donc $f$ est une application bijective.
$\forall m>0,\ f^{-1}(m)=\frac{2m+1+\sqrt{4m+1}}{2m^2}$