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Bonjour, j'ai deux exercices qui me posent problèmes et je voudrais de l'aide. MERCI D'AVANCE

Bonjour

Exercice 2
1°/ Une récurrence presque immédiate :
$U_0$ et $V_0$ sont strictement positifs.
La proposition $P_n\ :\ U_n\ et\ V_n$ strictement positifs implique $U_{n+1}$ strictement positif puis $V_{n+1}$ strictement positif.

2°/ $V_{n+1}-U_{n+1}=\sqrt{U_{n+1}V_n}-U_{n+1}=\sqrt{U_{n+1}}(\sqrt{V_n}-\sqrt{U_{n+1}})=\sqrt{U_{n+1}}(\frac{V_n-U_{n+1}}{\sqrt{V_n}+\sqrt{U_{n+1}}})$
$\sqrt{U_{n+1}}(\frac{V_n-\frac{1}{2}(U_n+V_n)}{\sqrt{V_n}+\sqrt{U_{n+1}}})=\frac{1}{2} \sqrt{U_{n+1}} \frac{V_n-U_n}{\sqrt{V_n}+\sqrt{U_{n+1}}}$

Par récurrence : $V_0-U_0>0$
Si $V_n-U_n>0$ alors $V_{n+1}-U_{n+1}>0$ donc $\forall n\in {\mathbb N}, V_n-U_n>0$

3°/ $U_{n+1}-U_n=\frac{1}{2} (V_n-U_n)>0$ donc la suite $(U_n)$ est croissante.
$V_{n+1}-V_n=\sqrt{V_n}(\sqrt{U_{n+1}}-\sqrt{V_n})=\sqrt{V_n}\frac{U_{n+1}-V_n}{\sqrt{U_{n+1}}+\sqrt{V_n}}=\sqrt{V_n}\frac{\frac{1}{2}(U_n-V_n)}{\sqrt{U_{n+1}}+\sqrt{V_n}} <0$
La suite $(V_n)$ est décroissante.

4°/ a) $\sqrt{V_n}>\sqrt{V_{n+1}}>\sqrt{U_{n+1}}$ donc $\frac{\sqrt{U_{n+1}}}{\sqrt{V_n}+\sqrt{U_{n+1}}}<\frac{\sqrt{U_{n+1}}}{2\sqrt{U_{n+1}}}=\frac{1}{2}$
et on conclue avec l'égalité de la question 2.

b) Récurrence : $V_0-U_0\leq (\frac{1}{4})^0(V_0-U_0)$
Si $V_n-U_n<(\frac{1}{4})^n (V_0-U_0)$ alors $V_{n+1}-U_{n+1}<\frac{1}{4} (V_n-U_n)<(\frac{1}{4})^{n+1}(V_0-U_0)$

5°/ $(U_n)$ est croissante majorée par $V_0$ donc elle converge.
$(V_n)$ est décroissante minorée par $U_0$ donc elle converge.
$\lim_{n\to +\infty} (\frac{1}{4})^n =0$ donc $\lim (V_n-U_n)=0$. Les suites ont même limite.

Exercice 1

1) Le triangle $A'B'C'$ est semblable au triangle $ABC$.
$A'B'AC'$ est un parallélogramme et $(\overrightarrow{A'B'},\overrightarrow{A'C'})=(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ donc $\alpha$ est une détermination de $(\overrightarrow{A'B'},\overrightarrow{A'C'})$
Même chose pour les autres angles du triangle $A'B'C'$
$(B'C')$ est parallèle à $(BC)$ et $(OA')$ perpendiculaire à $(BC)$ est donc une hauteur du triangle $A'B'C'$
De même $(OB')$ et $(OC')$ sont des hauteurs du triangle $A'B'C'$ et $O$ est donc l'orthocentre de ce triangle.
L'orthocentre d'un triangle est le barycentre de ses sommets, chacun étant affecté du coefficient égal à la tangente de l'angle correspondant donc $O$ est le barycentre de $\{(A',\tan \alpha) ; (B',\tan \beta) ; (C', \tan (\gamma)\}$, ce qui se traduit par l'égalité demandée.

$A'$ est le milieu de $[BC]$ donc $\overrightarrow{OA'}=\frac{1}{2} (\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$
Relations identiques pour $B'$ et $C'$.
L'égalité précédente s'écrit donc :
$\tan \alpha(\frac{1}{2} (\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}))+\tan \beta(\frac{1}{2} (\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}))+\tan \gamma (\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}))=\overrightarrow{0}$
En multipliant par 2 et en regroupant les termes, on a donc :
$(\tan \beta +\tan \gamma)\overrightarrow{OA}+(\tan \gamma +\tan \alpha)\overrightarrow{OB} +(\tan \alpha +\tan \beta)\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$

2°/$\frac{\sin(a+b)}{\cos a \times \cos b}=\frac{\sin a \cos b +\sin b \cos a}{\cos a \times \cos b}=\frac{\sin a}{\cos a}+\frac{\sin b}{\cos b}=\tan a +\tan b$
(il y a une erreur dans le texte)

3°/En utilisant l'égalité de la question 2 et la relation de la question 1 on a :
$\frac{\sin(\beta +\gamma)}{\cos \beta \cos \gamma} \overrightarrow{OA}+\frac{\sin(\gamma +\alpha)}{\cos \gamma \cos \alpha}\overrightarrow{OB}+\frac{\sin (\alpha +\beta)}{\cos \alpha \cos \beta}\overrightarrow{OC} =\overrightarrow{0}$

$\alpha +\beta +\gamma =\pi$ donc $\sin (\beta +\gamma) =\sin (\pi -\alpha) =\sin \alpha$
Même type d'égalité pour les 2 autres.
Et en multipliant tous les termes de l'égalité précédente par $\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$ on obtient :
$(\sin \alpha \cos \alpha)\overrightarrow{OA}+(\sin \beta \cos \beta)\overrightarrow{OB} +(\sin \gamma \cos \gamma) \overrightarrow{OC} =\overrightarrow{0}$

4°/$\sin \alpha \cos \alpha =\frac{1}{2} \sin (2\alpha)$
En multipliant par 2 l'égalité de la question 3 on obtient donc :
$\sin (2\alpha)\overrightarrow{OA}+\sin (2\beta)\overrightarrow{OB} +\sin (2\gamma)\overrightarrow{OC} =\overrightarrow{0}$
d'où la conclusion demandée.