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svp je m’intéresserai aux moindres détails et merci.

Bonjour

Exercice 1
1°) Si $x\geq 1,\ |x-1|=x-1$ et si $x\leq 1,\ |x-1|=-(x-1)=1-x$
La fonction valeur absolue est une fonction continue donc $f$ est continue sur $\mathbb R$.

On calcule les taux d'accroissement à droite et à gauche en 1.
Pour $x>1$, $\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{x^2-2(x-1)-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)-2(x-1)}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1-2)}{x-1}=\frac{(x-1)^2}{x-1}=x-1$
$\lim_{x\to 1} (x-1)=0$
Pour $x<1$, $\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{x^2-2(1-x)-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)-2(1-x)}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1+2)}{x-1}=x+3$
$\lim_{x\to 1} (x+3)=4$
La limite du taux d'accroissement est différente quand $x$ tend vers 1 à droite ou à gauche donc la fonction $f$ n'est pas dérivable en 1.

2°)
Pour $x>1$, $f(x)=x^2-2(x-1)$ donc $f'(x)=2x-2$
Sur $]1, +\infty[,\ 2x-2>0$ donc la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[1,+\infty[$

Pour $x<1$, $f(x)=x^2-2(1-x)$ donc $f'(x)=2x+2=2(x+1)$ et s'annule pour $x=-1$
Pour $x<-1,\ f'(x)<0$ donc la fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $]-\infty , -1]$
Pour $-1<x<1,\ f'(x)>0$ donc la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[-1, 1]$

Résumé : La fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $]-\infty , -1] $ et croissante sur l'intervalle $[1,+\infty[$
Elle admet donc un minimum en (-1) et $f(-1)=-3$

Le second exercice plus tard

Exercice 3

La fonction n'est pas définie si le dénominateur est nul donc si $x=1$ ou $x=3$. $D_{f_a}=]-\infty , 1[\cup ]1,3[ \cup ]3, +\infty[$

$f'_a(x)=\frac{(2x-a)(x^2-4x+3)-(2x-4)(x^2-ax)}{(x^2-4x-3)^2}$
Soit après réduction : $f'_a(x)=\frac{(a-4)x^2+6x -3a}{(x^2-4x+3)^2}$
Le dénominateur est strictement positif sur l'ensemble de définition donc la fonction dérivée a le signe de son numérateur : $N(x)=(a-4)x^2+6x-3a$

Si $a \neq 4$, il s'agit d'un trinôme du second degré.

a) La fonction n'admet pas d'extremum si $N(x)$ conserve un signe constant donc si le discriminant de $N(x)$ est négatif ou nul.
$\Delta = 36-4(a-4)(-3a)=12a^2-48a+36=12(a^2-4a+3)=12(a-1)(a-3)$
D'après la règle sur le signe du trinôme, $\Delta\leq 0$ lorsque $1\leq a \leq 3$. $N(x)$ est alors du signe de $a-4$ soit négatif.
La fonction est alors décroissante sur les 3 intervalles où elle est définie. et n'admet pas d'extremums.

b) Si $a \in ]-\infty ,1[\cup ]3 , 4[ \cup ]4, +\infty[$ alors $\Delta >0$ donc $N(x)$ s'annule 2 fois, en changeant de signe à chaque fois donc $f_a$ a un maximum et un minimum.

c) Si $a=4$, $N(x)=6x-12=6(x-2)$ donc si $x<2,\ N(x)<0$ et si $x>2,\ N(x)>0$
Donc $f_a$ admet un minimum pour $x=2$ et c'est le seul extremum.

Merci beaucoup .