Math-Aide

Salut Job et merci pour ton aide habituelle !
Je fais beaucoup d'exo chaque jour et j'essai d'amélioré ma pédagogie.
Mais je bloque sur cet exo : (voir lien)
https://ibb.co/vXYTsMr

J'aurai dit que BA.BC=BA.AD = -1+ BA.BD (tous des vecteurs)
Mais je ne vois pas comment faire apparaitre les vecteurs demandés?

Salut Marc

(Compte tenu du coefficient 1/4 dans la réponse à trouver, il faut penser à faire intervenir le point $O$)

1) $\overrightarrow {BA}\cdot \overrightarrow{BC}=(\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA})\cdot (\overrightarrow{BO} +\overrightarrow{OC})$
$=\overrightarrow{BO}^2+\overrightarrow{BO}\cdot(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})+\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}$
$=(\frac{1}{2}\overrightarrow{BD})^2+\overrightarrow{BO}\cdot \overrightarrow{0}+(\frac{1}{2} \overrightarrow{AC})\cdot (-\frac{1}{2} \overrightarrow{AC})$
$=\frac{1}{4} BD^2-\frac{1}{4} AC^2$

2) Le parallélogramme est un rectangle si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont orthogonaux donc si et seulement si leur produit scalaire est nul donc si $BD^2-AC^2=0$ ce qui équivaut à $BD=AC$