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Bonjour

Le chapeau du champignon se compose d'un demi-disque de rayon $\frac{x}{2}$ et de 2 demi-disques de rayon $\frac{x}{4}$. Son aire est donc :
$\displaystyle \frac{1}{2} \pi (\frac{x}{2})^2+ 2(\frac{1}{2} \pi (\frac{x}{4})^2)=\pi \frac{x^2}{8} +\pi \frac{x^2}{16} = \frac{3\pi x^2}{16}$

Pour le pied, il faut procéder par soustraction. Le pied s'inscrit dans un rectangle de dimension $x$ et $\frac{x}{2}$ auquel on soustrait 2 quarts de disques de rayon $\frac{x}{2}$.
L'aire du pied est donc :$\displaystyle x\times \frac{x}{2}- 2(\frac{1}{4} \pi (\frac{x}{2})^2)=\frac{x^2}{2} - \frac{1}{2}\pi \frac{x^2}{4}$

L'aire totale est donc : $\displaystyle \frac{3\pi x^2}{16}+\frac{x^2}{2}-\frac{\pi x^2}{8}=\frac{x^2}{2} +\frac{\pi x^2}{16}$

,...

Il faut résoudre l'équation : $\frac{x^2}{2}+\frac{\pi x^2}{16}=42$

Soit : $\displaystyle x^2 (\frac{8+\pi}{16})=42$