Centre de symétrie d'une fonction
Publié : 02 novembre 2013, 23:33
Bonjour,
C'est une petite étude "théorique" d'une fonction polynomiale du 3ème degré.
Cet exercice est sorti d'un ancien livre de la classe de 1ère.
On considère la fonction : $y=x^3+px+q$, où $x$ est la variable; $p$ et $q$ sont des paramètres.
Soit $C$ la courbe représentative des variations de $y$ dans un repère orthonormé.
On considère les valeurs $x_1=\alpha$ et $x_2=-\alpha$ de la variable $x$.
- 1.) Calculer $y_1$ et $y_2$. Montrer que, $\forall\alpha\in\mathbb{R}$, $y_1+y_2$ a une valeur constante.
- 2.) En déduire que le point $A$ de coordonnées ($x=0$, $y=q$) est un centre symétrie pour la courbe $C$.
__________________________________________________________
1.) Calcul des valeurs : $y_1$ pour $x_1=\alpha$, $y_2$ avec $x_2=-\alpha$ :
$y_1=\alpha^3+p\alpha+q$
$y_2=(-\alpha)^3+p(-\alpha)+q=-\alpha^3-p\alpha+q$
Calcul de la somme de $y_1+y_2$:
$y_1+y_2=\alpha^3+p\alpha+q-\alpha^3-p\alpha+q$
Donc : $y_1+y_2=2q$
Je remarque que $y_1+y_2$ est indépendant de $\alpha$.
La fonction dérivée : $y'=3x^2+p,$ est indépendante de $q$.
$q$ est le terme constant de $f(x)$, un point fixe indépendant de $x$. CQFD ?
2.) Montrons que le centre de symétrie est : $A(0;q)$
On sait qu'un point de coordonnées $(a,b)$ est le centre de symétrie d'une courbe ssi :
Le domaine de la fonction $f$ est centré sur $a$ et si : $f(a-x)+f(a+x)=2b$
Pour ce qui nous concernent, $D_f=\mathbb{R}$. Si on pose :
$a=0$ et $x=\alpha$, $y_1=f(0-\alpha)$ et $y_2=f(0+\alpha)$ on obtient bien :
$f(0-\alpha)+f(0+\alpha)=2b=2q$. CQFD ?
Merci d'avance pour vos réponses...
C'est une petite étude "théorique" d'une fonction polynomiale du 3ème degré.
Cet exercice est sorti d'un ancien livre de la classe de 1ère.
On considère la fonction : $y=x^3+px+q$, où $x$ est la variable; $p$ et $q$ sont des paramètres.
Soit $C$ la courbe représentative des variations de $y$ dans un repère orthonormé.
On considère les valeurs $x_1=\alpha$ et $x_2=-\alpha$ de la variable $x$.
- 1.) Calculer $y_1$ et $y_2$. Montrer que, $\forall\alpha\in\mathbb{R}$, $y_1+y_2$ a une valeur constante.
- 2.) En déduire que le point $A$ de coordonnées ($x=0$, $y=q$) est un centre symétrie pour la courbe $C$.
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1.) Calcul des valeurs : $y_1$ pour $x_1=\alpha$, $y_2$ avec $x_2=-\alpha$ :
$y_1=\alpha^3+p\alpha+q$
$y_2=(-\alpha)^3+p(-\alpha)+q=-\alpha^3-p\alpha+q$
Calcul de la somme de $y_1+y_2$:
$y_1+y_2=\alpha^3+p\alpha+q-\alpha^3-p\alpha+q$
Donc : $y_1+y_2=2q$
Je remarque que $y_1+y_2$ est indépendant de $\alpha$.
La fonction dérivée : $y'=3x^2+p,$ est indépendante de $q$.
$q$ est le terme constant de $f(x)$, un point fixe indépendant de $x$. CQFD ?
2.) Montrons que le centre de symétrie est : $A(0;q)$
On sait qu'un point de coordonnées $(a,b)$ est le centre de symétrie d'une courbe ssi :
Le domaine de la fonction $f$ est centré sur $a$ et si : $f(a-x)+f(a+x)=2b$
Pour ce qui nous concernent, $D_f=\mathbb{R}$. Si on pose :
$a=0$ et $x=\alpha$, $y_1=f(0-\alpha)$ et $y_2=f(0+\alpha)$ on obtient bien :
$f(0-\alpha)+f(0+\alpha)=2b=2q$. CQFD ?
Merci d'avance pour vos réponses...