Une identité pour résoudre un système
Publié : 02 novembre 2013, 00:03
Bonjour,
Dans cet exercice assez difficile, on utilise une identité remarquable pour simplifier la résolution d'un système.
Il est sorti d'un ancien livre d'une classe 1ère. Merci pour la vérification et les commentaires.
Vérifier l'identité Lagrange :
$(ax+by)^2+(bx-ay)^2=(a^2+b^2)(x^2+y^2)$
Un système de 2 équations à 2 inconnues avec un paramètre :
$\left\{
\begin{array}{l}
4x+3y=h \\
x^2+y^2=m^2
\end{array}
\right.$
Dans lequel $m$ est le paramètre et $h$ un nombre donné.
1°) Discuter et résoudre ce système dans $\mathbb{R}$ suivant les valeurs de $m$.
2°) Calculer en fonction de $h$, le minimum de $x^2+y^2$, et les valeurs correspondantes de $x$ et de $y$.
______________________________________________________________________
Préambule : en posant : $a=-b$ et $b=-a$, cette identité peut aussi s'écrire :
$(x^2+y^2)\big[(-a)^2+(-b)^2\big]=(-bx-ay)^2+(-ax+by)^2=(ay+bx)^2+(by-ax)^2=(a^2+b^2)+(x^2+y^2).$
Par ailleurs, en cherchant un peu, j'en ai trouvé une autre :
$(a^2-b^2)(c^2-d^2)=(ac+bd)^2-(ad+bc)^2$
De la même façon, en posant $a=-b$ et $b=-a$ on obtient :
$(a^2-b^2)(c^2-d^2)=(ad+bc)^2-(ac+bd)^2$.
Question : peut on parler d'expressions symétriques ?
1.) La mise en forme en utilisant l'identité :
$(x^2+y^2)(4^2+3^2)=25m^2$
De cette façon on en déduis :
$(4x+3y)^2+(3x-4y)^2=25m^2$
En prenant en compte que : $(4x+3y)^2=h^2$, le système devient linéaire :
$\left\{
\begin{array}{l}
4x+3y=h \\
(3x-4y)^2=25m^2-h^2
\end{array}\iff \left\{
\begin{array}{l}
4x+3y=h \\
3x-4y=\pm\sqrt{25m^2-h^2}
\end{array}
\right.
\right.$
Deux valeurs possibles pour le terme constant de la 2ème ligne, donc deux solutions pour $x$ et $y$.
La discussion suivant $m$ doit porter sur l'expression sous la racine : $25m^2-h^2\ge 0.$
Cette expression est toujours positive ssi $5m\in ]-\infty;-h]\cup[+h;+\infty[\,$. CQFD ?
Par combinaisons linéaires : $3L_1-4L_2$ et $4L_1-3L_2$, on en tire les valeurs :
$x_1=\dfrac{1}{25}(4h-3\sqrt{25m^2-h^2})$ et $y_1=\dfrac{1}{25}(3h+4\sqrt{25m^2-h^2})$
$x_2=\dfrac{1}{25}(4h+3\sqrt{25m^2-h^2})$ et $y_2=\dfrac{1}{25}(3h-4\sqrt{25m^2-h^2})$
2.) Le minimum de $x^2+y^2=m^2$ est celui de $m^2$ ?
$\quad(3x-4y)^2=25m^2-h^2\iff m^2=\dfrac{1}{25}\Big[(3x-4y)^2+h^2\Big].$
Pour une valeur de $h$ fixée, $m^2$ est minimal pour $3x=4y.$ CQFD ?
J'ai eu du mal pour en venir à bout
@+
Dans cet exercice assez difficile, on utilise une identité remarquable pour simplifier la résolution d'un système.
Il est sorti d'un ancien livre d'une classe 1ère. Merci pour la vérification et les commentaires.
Vérifier l'identité Lagrange :
$(ax+by)^2+(bx-ay)^2=(a^2+b^2)(x^2+y^2)$
Un système de 2 équations à 2 inconnues avec un paramètre :
$\left\{
\begin{array}{l}
4x+3y=h \\
x^2+y^2=m^2
\end{array}
\right.$
Dans lequel $m$ est le paramètre et $h$ un nombre donné.
1°) Discuter et résoudre ce système dans $\mathbb{R}$ suivant les valeurs de $m$.
2°) Calculer en fonction de $h$, le minimum de $x^2+y^2$, et les valeurs correspondantes de $x$ et de $y$.
______________________________________________________________________
Préambule : en posant : $a=-b$ et $b=-a$, cette identité peut aussi s'écrire :
$(x^2+y^2)\big[(-a)^2+(-b)^2\big]=(-bx-ay)^2+(-ax+by)^2=(ay+bx)^2+(by-ax)^2=(a^2+b^2)+(x^2+y^2).$
Par ailleurs, en cherchant un peu, j'en ai trouvé une autre :
$(a^2-b^2)(c^2-d^2)=(ac+bd)^2-(ad+bc)^2$
De la même façon, en posant $a=-b$ et $b=-a$ on obtient :
$(a^2-b^2)(c^2-d^2)=(ad+bc)^2-(ac+bd)^2$.
Question : peut on parler d'expressions symétriques ?
1.) La mise en forme en utilisant l'identité :
$(x^2+y^2)(4^2+3^2)=25m^2$
De cette façon on en déduis :
$(4x+3y)^2+(3x-4y)^2=25m^2$
En prenant en compte que : $(4x+3y)^2=h^2$, le système devient linéaire :
$\left\{
\begin{array}{l}
4x+3y=h \\
(3x-4y)^2=25m^2-h^2
\end{array}\iff \left\{
\begin{array}{l}
4x+3y=h \\
3x-4y=\pm\sqrt{25m^2-h^2}
\end{array}
\right.
\right.$
Deux valeurs possibles pour le terme constant de la 2ème ligne, donc deux solutions pour $x$ et $y$.
La discussion suivant $m$ doit porter sur l'expression sous la racine : $25m^2-h^2\ge 0.$
Cette expression est toujours positive ssi $5m\in ]-\infty;-h]\cup[+h;+\infty[\,$. CQFD ?
Par combinaisons linéaires : $3L_1-4L_2$ et $4L_1-3L_2$, on en tire les valeurs :
$x_1=\dfrac{1}{25}(4h-3\sqrt{25m^2-h^2})$ et $y_1=\dfrac{1}{25}(3h+4\sqrt{25m^2-h^2})$
$x_2=\dfrac{1}{25}(4h+3\sqrt{25m^2-h^2})$ et $y_2=\dfrac{1}{25}(3h-4\sqrt{25m^2-h^2})$
2.) Le minimum de $x^2+y^2=m^2$ est celui de $m^2$ ?
$\quad(3x-4y)^2=25m^2-h^2\iff m^2=\dfrac{1}{25}\Big[(3x-4y)^2+h^2\Big].$
Pour une valeur de $h$ fixée, $m^2$ est minimal pour $3x=4y.$ CQFD ?
J'ai eu du mal pour en venir à bout
@+