DM somme et produit
Publié : 08 octobre 2018, 17:59
Bonjour
Je suis en première S et j'espère un peu d'aide pour mon DM, voici l'énoncé :
Dans cet exercice, on veut étudier l'existence de solutions $(u,v)\in R_2$ du système $\begin{vmatrix}
u + v = S\\
u \times v = P
\end{vmatrix}$
où $P$ et $S$ sont deux réels donnés. On commence les trois premières questions par étudier le cas particulier où $S = \frac{3}{2}$
et $P= \frac{1}{2}$
Puis on traitera le cas général.
Cas particulier.
1 ) montrer que les fonctions polynômes $f_1(x)$ et $f_2(x)$ définies pour tout $x$ par $f_1(x) = 2x^2 - 3x + 1$ et $f_2 = x^2 - \frac{3}{2} x + \frac{1}{2}$ ont les mêmes racines. Les calculer
2 ) Calculer la somme et le produit des racines. Que remarquez-vous ? On pourra comparer ces valeurs aux coefficients de $f_1(x)$ et $f_2(x)$ des polynômes ainsi qu'étudier les possibles liens avec le système $\begin{vmatrix}
u + v = S\\
u \times v = P
\end{vmatrix}$
3 ) Déterminer toutes les solutions de $\begin{vmatrix}
u + v = S\\
u \times v = P
\end{vmatrix}$ quand $S = \frac{3}{2}$ et $P = \frac{1}{2}$
Cas général.
On veut montrer que $(u,v) \in R_2 $ est solution de $\begin{vmatrix}
u + v = S\\
u \times v = P
\end{vmatrix}$ si et seulement si $u$ et $v$ sont les racines de la fonction $f$ définie sur $R$ par $f(x) = x^2 - Sx + P$.
4 ) Soit $g$ la fonction trinôme de degré $2$ définie sur R par $g : x\mapsto ax^2 + bx + c $. Montrer que, dans le cas où $g$ possède des racines $x_1$ et $x_2$ (dans le cas d'une racine double , on prendra $ x_1 = x_2$) celles-ci vérifient : $\quad$ $\begin{vmatrix}
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\\
x_1 \times x_2 = \frac{c}{a}
\end{vmatrix}$
En déduire que si $u$ et $v$ sont racines de $x^2 - Sx + p $ alors $(u,v) \in R_2 $ est solution de
5 ) Combien de couples solutions de $\begin{vmatrix}
u + v = S\\
u \times v = P
\end{vmatrix}$ , la question précédente vous permet-elle de déduire ? Avez-vous prouver que ce sont les seuls ?
6 ) Prouver que si $(u,v) \in R_2 $ est solution alors $u$ et $v$ sont des racines de $x^2 - Sx + p $
-
Je suis en première S et j'espère un peu d'aide pour mon DM, voici l'énoncé :
Dans cet exercice, on veut étudier l'existence de solutions $(u,v)\in R_2$ du système $\begin{vmatrix}
u + v = S\\
u \times v = P
\end{vmatrix}$
où $P$ et $S$ sont deux réels donnés. On commence les trois premières questions par étudier le cas particulier où $S = \frac{3}{2}$
et $P= \frac{1}{2}$
Puis on traitera le cas général.
Cas particulier.
1 ) montrer que les fonctions polynômes $f_1(x)$ et $f_2(x)$ définies pour tout $x$ par $f_1(x) = 2x^2 - 3x + 1$ et $f_2 = x^2 - \frac{3}{2} x + \frac{1}{2}$ ont les mêmes racines. Les calculer
2 ) Calculer la somme et le produit des racines. Que remarquez-vous ? On pourra comparer ces valeurs aux coefficients de $f_1(x)$ et $f_2(x)$ des polynômes ainsi qu'étudier les possibles liens avec le système $\begin{vmatrix}
u + v = S\\
u \times v = P
\end{vmatrix}$
3 ) Déterminer toutes les solutions de $\begin{vmatrix}
u + v = S\\
u \times v = P
\end{vmatrix}$ quand $S = \frac{3}{2}$ et $P = \frac{1}{2}$
Cas général.
On veut montrer que $(u,v) \in R_2 $ est solution de $\begin{vmatrix}
u + v = S\\
u \times v = P
\end{vmatrix}$ si et seulement si $u$ et $v$ sont les racines de la fonction $f$ définie sur $R$ par $f(x) = x^2 - Sx + P$.
4 ) Soit $g$ la fonction trinôme de degré $2$ définie sur R par $g : x\mapsto ax^2 + bx + c $. Montrer que, dans le cas où $g$ possède des racines $x_1$ et $x_2$ (dans le cas d'une racine double , on prendra $ x_1 = x_2$) celles-ci vérifient : $\quad$ $\begin{vmatrix}
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\\
x_1 \times x_2 = \frac{c}{a}
\end{vmatrix}$
En déduire que si $u$ et $v$ sont racines de $x^2 - Sx + p $ alors $(u,v) \in R_2 $ est solution de
5 ) Combien de couples solutions de $\begin{vmatrix}
u + v = S\\
u \times v = P
\end{vmatrix}$ , la question précédente vous permet-elle de déduire ? Avez-vous prouver que ce sont les seuls ?
6 ) Prouver que si $(u,v) \in R_2 $ est solution alors $u$ et $v$ sont des racines de $x^2 - Sx + p $
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