Math-Aide

Bonjour Job;;

Pourriez vous m'aidez à répondre à mon devoir (sauf la partie 3)

Bonjour nico

2. Quand on ajoute un sommet supplémentaire, on ajoute d'une part $(n-2)$ diagonales car, à partir de ce sommet, pour avoir des diagonales, ce sommet peut être joint aux $(n-2)$ sommets qui ne sont pas voisins avec lui et d'autre part 1 diagonale qui joint les 2 sommets qui précédemment étaient consécutifs et qui maintenant sont séparés par le nouveau sommet.
Donc on obtient $(n-2)+1=n-1$ nouvelles diagonales.
$u_{n+1}=u_n+(n-1)$

4. Méthode 1
D'un sommet quelconque partent $(n-3)$ diagonales. (on retranche 3 car le sommet ne peut pas être joint à lui-même et aux 2 sommets qui sont ses voisins)
Ceci est vrai pour chaque sommet mais en faisant ce raisonnement, on compte 2 fois chaque diagonale donc $u_n=\frac{n(n-3)}{2}$.
Avec cette conjecture, on a bien $u_3=0$ et
$u_{n+1}-u_n=\frac{(n+1)(n-2)}{2}-\frac{n(n-3)}{2}=\frac{n^2-2n+n-2-n^2+3n}{2}=\frac{2n-2}{2}=n-1$
On a bien le même premier terme et la même relation de récurrence.

Méthode 2
$S_n=((u_{n+1}-u_n)+(u_n-u_{n-1} +\cdots +(u_(-u_4)+(u_4-u_3)=u_{n+1}-u_3=u_{n+1}$ (les termes s'éliminent 2 à 2).

On a d'autre part, d'après la question 2, $S_n=\sum_{k=3}^n (k-1)$
Il s'agit de la somme de $(n-2)$ termes d'une suite arithmétique donc $S_n=\frac{(2+n-1)(n-2)}{2}=\frac{(n+1)(n-2)}{2}$

On a donc $u_{n+1}=\frac{(n+1)(n-2)}{2}$ donc $u_n=\frac{n(n-3)}{2}$

5. On peut utiliser l'expression générale de $u_n$ établie à la question 4 ou utiliser l'algorithme de la question 3.