Math-Aide

Bonjour
Un peu perdu sur un exercice de mon DM.
Si quelqu'un peut m'aider svp
L'exercice : Pour tout m>1, on considère les fonctions fm définies sur [0;+infini[ par fm(x) = -2x+m /x²-2x+m
1) Démontrer que m>1 assure bien l'existence de fm(x) pour tout x appartenant à [0;+infini[
2) Etudier les variations de fm et dresser son tableau de variation
3) Donner les coordonnées du point Sm correspondant au minimum de fm
4) Démontrer que tous les points Sm appartiennent à une courbe dont on donnera ne équation

Merci d'avance

Bonjour

1) la fonction est définie si le dénominateur est non nul soit $x^2-2x+m\neq 0$
$\Delta = 4-4m$ donc si $m>1$ alors $\Delta <0$ et le trinôme $x^2-2x+m$ n'a pas de racine donc la fonction est définie.

2) On utilise la formule de dérivation d'un quotient.
$f_m'(x)=\frac{-2(x^2-2x+m)-(2x-2)(-2x+m)}{(x^2-2x+m)^2}=\frac{-2x^2+4x-2m+4x^2-2mx-4x+2m}{(x^2-2x+m)^2}=\frac{2x^2-2mx}{(x^2-2x+m)^2}=\frac{2x(x-m)}{(x^2-2x+m)^2}$
La fonction étant définie sur l'intervalle $[0, +\infty[$, $f_m'(x)$ est du signe de $x-m$
Sur $[0, m[,\ x-m<0$ donc la fonction est décroissante.
Sur $]m, +\infty[,\ x-m>0$ donc la fonction est croissante.

3) Le minimum est atteint pour $x=m$ et $f_m(m)=\frac{-m}{m^2-m}=\frac{-m}{m(m-1)}=\frac{-1}{m-1}$

4) $S_m$ a pour coordonnées $(m, \frac{-1}{m-1})$ donc appartient à la courbe d'équation $y=\frac{-1}{x-1}$

Bonjour Job
Merci beaucoup pour la réponse. J'avais commis une erreur en dérivant la fonction du coup la suite de ma réponse n'était pas correcte.
Encore merci.