Math-Aide

Vous pouvez m'aidez à faire cette exercice svp car le prof ne voulais pas donné le corrigé.

Dans une population, on estime que 15% des individus sont sans emploi stable.

1°On considère tout d'abord un échantillon de n=10 individus pris indépendamment dans la population, et on note X le nombre de personnes sans emploi stable trouvés.
a) Donner la loi de X, son espérance et sa variance.
b) Calculer P[X=0], P[X=1], P[X=2], P[X=9] et P[X=10]
c) Utiliser les questions précédentes et votre intuition pour dresser une ébauche du diagramme en bâton de X.
d) Quelle est la probabilité qu'il y ait au plus de 2 personnes sans emplois stables dans cet échantillon ?

2°On considère maintenant un échantillon de n=1000 individus et on note Y le nombre de personnes sans emplois stable.
a) Donner la loi de Y, son espérance et sa variance.
b) Donner l'expression et un ordre de grandeur pour P[Y=0], P[Y< 150] et P[Y=1000].
c) Utiliser une approximation judicieusement choisie pour dresser une ébauche du diagramme en bâton de Y.
d) En utilisant la même approximation, calculer les probabilités qu'il ait au plus 20 personnes sans emploi stable dans cet échantillon, qu'il y en ait moins de 160 puis qu'il ait plus de 195.

Bonjour

1° a) $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,15$
$E(X)=np=1,5$ et $V(X)=np(1-p)=1,275$

b) $P(X=0)=0,85^{10}\simeq 0,197$ ; $P(X=1)=10\times 0,15 \times 0,85^9=0,347$
$P(X=2)={10\choose 2} \times 0,15^2\times 0,85^8=45 \times 0,15^2\times 0,85^8\simeq 0,276$
$P(X=9)={10\choose 9}\times 0,15^9\times 0,85=10\times 0,15^9\times 0,85\simeq 3,3\cdot 10^{-7}$
$P(X=10)=0,15^{10}\simeq 5,76\cdot 10^{-9}$

c) Le bâton le plus haut est obtenu pour $X=1$ puis les bâtons diminuent.

d) Au plus 2 personnes donc $P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\simeq 0,82$

2° a) $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n=1000$ et $p=0,15$
$E(Y)=np = 150$ et $V(Y)=np(1-p)=127,5$

b) $P(Y=0)=0,85^{1000}=0$ et $P(Y=1000)=0,15^{1000}=0$
150 étant l'espérance donc la moyenne,on peut estimer que $P(Y<150)=0,5$

c) Étant donné que $n$ est grand, on peut approximer la loi de $Y$ par une loi normale d'espérance 150 donc les sommets des bâtons dessinent la courbe en cloche classique .

d) $Y$ est approximé par la loi normale d'espérance 150 et d'écart-type $\sqrt{127,5}=11,3$

Je pense que pour les réponses demandées, vous utilisez directement la calculatrice.
J'obtiens : $P(Y\leq 20)=0$ ; $P(Y<160)=0,8106$ ; $P(Y>195)=0,00003$

Merci, ça va beaucoup m'aidez, merci beaucoup.