Math-Aide

Bonjour, pouvez-vous m'aider svp ?

Quelle serai la formule pour connaitre la probabilité de réussite de l'événement suivant : j'ai N dés à X faces, je jette les dés tous en même temps, sans relance, je veux au moins qu'un des dés ait une valeur faciale supérieure ou égale à K

exemple : j'ai 3 dés à 6 faces (des dés classique en somme, mais j'ai aussi des dés à 8, 10, 12, 20 faces etc.) et je veux connaitre la probabilité d'avoir qu'au moins une face de dés ait une valeur faciale de 3 ou plus.

Maintenant on corse l'affaire : si avoir une face égale ou supérieure à K est une réussite, avoir un 1 élimine une réussite. Il faut toujours avoir au moins une réussite.
exemple, je jette 5 dés à 6 faces avec une "difficulté de 3 (K = 3) : j'obtiens : 1,1,3,3,4 : ici j'ai réussie, avec une réussite car 2 des 3 réussites ont été supprimées (mais c'est suffisant)

Quelle serait donc la formule dans ces conditions pour avoir la probabilité ?

merci

Bonjour et bienvenue (à un amateur de Lovecraft ?)

1) Je commence par l' exemple : 3 dés à 6 faces
La probabilité pour un dé d'avoir 1 ou 2 est égale à $\frac{2}{6} =\frac{1}{3}$
La probabilité que les 3 dés sortent 1 ou 2 est donc de $(\frac{1}{3})^3=\frac{1}{27}$
Avoir au moins une face dont la valeur faciale est supérieure ou égale à 3 est l'événement contraire donc sa probabilité est égale à $1-\frac{1}{27}=\frac{26}{27}$

Généralisation : $N$ dés à $X$ faces et valeur faciale supérieure ou égale à $K$.
Pour un dé, il y a $(K-1)$ faces dont la valeur faciale est inférieure à $K$ donc la probabilité pour un dé d'avoir une valeur faciale inférieure à $K$ est : $\frac{k-1}{X}$
La probabilité que les $N$ dés aient une valeur faciale inférieure à $K$ est alors de $(\frac{K-1}{X})^N$
Donc la probabilité qu'au moins une face ait une valeur faciale supérieure ou égale à $K$ est : $1-(\frac{K-1}{X})^N$

J'étudierai la seconde question demain.

Oui
Ia! Ia! Cthulhu Fthagn! Ph'nglui mglw'nfah Cthulhu R'lyeh wgah'nagl fhtagn!

Merci pour cette première réponse claire et très bien expliquée

j'attends avec impatience la seconde partie.

Bonjour

Je ne comprends pas bien, je ne comprends pas l'exemple.
Si "avoir un 1 élimine une réussite", si on obtient 1,1,3,3,5, pour moi, bien qu'on ait obtenu au moins une face avec une valeur faciale de 3 ou plus, la réussite est éliminée puisqu'on a obtenu deux 1.

Job a écrit :Bonjour

Je ne comprends pas bien, je ne comprends pas l'exemple.
Si "avoir un 1 élimine une réussite", si on obtient 1,1,3,3,5, pour moi, bien qu'on ait obtenu au moins une face avec une valeur faciale de 3 ou plus, la réussite est éliminée puisqu'on a obtenu deux 1.

autres exemples 5d6 difficulté 3 : K = 3, N=5, X = 6
1er tirage : 1,1,3,4,6
le premier 1 élimine la réussite fait par le 3, il reste encore 2 réussites, le4 et le 6
le deuxième 1 élimine la réussite fait par le 4, il reste un 6 donc 1 réussite
le test est réussit

2eme tirage : 1,1,2,5,6
le premier 1 élimine la réussite fait par le 5, il reste encore 1 réussite, le 6
le deuxième 1 élimine la réussite fait par le 6, il reste aucune réussite (le 2 n'est pas une réussite)
le test est un échec

chaque 1 élimine une réussite, si après avoir éliminé les réussites (annulées par les 1), il reste encore au moins une réussite alors le test est réussit sinon c'est un échec.

J'ai bien compris le problème. Je commence par un cas simple 3 dés à 6 faces et $K=3$.
Je considère les dés différenciés (par exemple en les jetant un par un). Le nombre de cas possibles est donc $6^3=216$

Nombre de possibilités avec 3 "un": une seule et c'est perdu.
Nombre de possibilités avec 2 "un" : 3 x 5=15 . (3 pour le numéro de sortie du dé qui n'est pas "1" et 5 pour sa valeur faciale) et c'est perdu.
Nombre de possibilités avec un seul "1" : $3\times 5^2$ (3 pour le numéro de sortie du 1 et $5^2$ pour les valeurs faciales des 2 autres dés).
Pour gagner il ne faut pas que les 2 autres dés sortent un "2" donc le nombre de cas favorables est $3\times 5^2-1=74$
Nombre de possibilités avec aucun "1" : $5^3$. Pour gagner, il ne faut pas obtenir trois "2" donc le nombre de cas favorables est $5^3-1=124$

En définitive probabilité de gagner : $\frac{74+124}{216}=\frac{11}{12}$

Même le cas le plus simple est déjà assez compliqué. Je vais essayer de voir si on peut raisonner d'une autre manière.

Bonjour

Un cas un peu plus compliqué : 5 dés à 8 faces avec $K=4 $.
Je considère toujours les dés différenciés donc il y a $8^5$ cas possibles. Je dénombre les cas perdants.

1) Les 5 dés sortent un "1" : un seul cas

2) 4 dés sortent un "1" : $C_5^4\times 7=35$ cas ($C_5^4$ pour les rangs des "1" et 7 pour la face du cinquième dé)

3) 3 dés sortent un "1" : $C_5^3\times 7^2=490$ cas ($C_5^3$ pour les rangs des "1" et $7^2$ pour les faces des 2 autres dés)

4) 2 dés sortent un "1", $C_5^2=10$ cas possibles. Pour les 3 autres dés : $7^3$ possibilités
Cela supprime 2 réussites et on ne peut gagner que si on a 3 réussites. Une réussite est dans ce cas avoir au moins 4 sur chacun des 3 dés restants soit $5^3$ possibilités et donc $7^3-5^3=218$ possibilités de perdre.
En définitive le nombre de cas perdants est donc $10\times 218=2180$

5) Un seul dé sort un "1", $C_5^1=5$ rangs possibles. Pour les 4 autres dés : $7^4$ possibilités.
Cela supprime une réussite. On perd si, sur les 4 dés :
- 4 faces inférieures à "4" : $2^4=16$ cas
- 3 faces inférieurs à "4" : $2^3\times 5\times C_4^1=160$ cas
Si il n'y a que 2 ou 1 ou 0 face inférieure à 4, on gagne puisqu'il reste au moins une réussite.
En définitive le nombre de cas perdants est $5(16+160)=880$

6) Aucun "1". On ne perd que si les 5 faces sont inférieures à 4 soit 2 ou 3 donc $2^5=32$ cas perdants.

Conclusion : probabilité de perdre : $\frac{1+35+490+2180+880+32}{8^5}=\frac{3618}{32768}$
Probabilité de gagner : $1-\frac{3618}{32768}=\frac{29150}{32768}\simeq 0,89$

Il me paraît assez difficile d'établir une formule générale.

Merci pour toutes ces explications et le temps que tu y as consacré.
Le challenge pour trouver une formule générale est toujours ouvert (que ce soit sous la forme d'une formule générique ou d'un algorithme pourquoi pas)