Math-Aide

Bonjour!
On doit montrer que la convergence de la série de terme général $u_n=\frac{2^n}{n!}-\frac{1}{2^n(n!)}$ et calculer sa somme.

C'est la différence deux deux séries à termes positifs; pour montrer la convergence j'essaye de majorer le terme général, mais je tourne en rond.... Merci pour votre aide!

Bonjour

On utilise le critère de d'Alembert pour chacune des 2 séries.
$\frac{\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{2^n}{n!}}=\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}\times \frac{n!}{2^n}=\frac{2}{n+1}$
$\lim_{n\to +\infty} \frac{2}{n+1}=0$ donc cette série converge.

$\frac{\frac{1}{2^{n+1}(n+1)!}}{\frac{1}{2^n n!}}=\frac{2^n n!}{2^{n+1}(n+1)!}=\frac{1}{2(n+1)}$
$\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{2(n+1)}=0$. Cette deuxième série converge.

Si les séries de termes généraux $v_n$ et $w_n$ convergent alors une série de terme général $v_n+\lambda w_n$ converge donc la série proposée converge.

On retrouve le même calcul que dans l'exercice précédent : $\sum_{n\in {\mathbb N}}\frac{2^n}{n!}=e^2$ et $\sum_{n\in {\mathbb N}} \frac{(\frac{1}{2})^n}{n!}=e^{\frac{1}{2}}$
Donc la série proposée converge vers $e^2-e^{\frac{1}{2}}$

Remarque : pour montrer la convergence d'une série dont le terme général continent une factorielle, on a souvent recours au critère de d'Alembert

Super, merci!
Je vais essayer de faire les autres en utilisant tes conseils...
A bientôt.