Math-Aide

Bonjour!
trouver la limite de f(x)=(1+3x)^(1/x) lorsque x tend vers 0
Je serais tenté de passer par le ln, mais je ne trouve ni le domaine de définition, ni le signe de f ...

Bonjour

La fonction est définie si $1+3x>0$ et $x\neq 0$ donc sur $]-\frac{1}{3} , 0[\cup ]0,+\infty[$

$\displaystyle (1+3x)^{\frac{1}{x}}=(e^{\ln (1+3x)})^{\frac{1}{x}}=e^{\frac{1}{x} \ln (1+3x)}$

Au voisinage de 0, $\ln (1+3x)\sim 3x$ donc $\frac{1}{x}\ln (1+3x)\sim \frac{1}{x}\times 3x=3$

Par conséquent $\displaystyle \lim_{x\to 0} (1+3x)^{\frac{1}{x}}=e^3$

Super...
Merci!