Bornes après changement de variable
Publié : 10 février 2017, 08:02
Bonjour
Mon pb ce sont les bornes après le changement de variables $I=0$ ce qui est faux si l'on visualise la courbe.Pour le tracé : Wolfram \begin{align*}
I= \int_0^{2\pi } {\frac{1}{{\sin ^4 x + \cos ^4 x}}} dx &=
(\sin ^2 x + \cos ^2 x)^2 = \sin ^4 x + \cos ^4 x + 2\sin ^2 x\cos ^2 x \\
1 &= \sin ^4 x + \cos ^4 x + 2\sin ^2 x\cos ^2 x \\
\sin ^4 x + \cos ^4 x &= 1 - 2\sin ^2 x\cos ^2 x = 1 - \frac{{\sin ^2 2x}}{2} \\
\tan 2x &= \frac{{\sin 2x}}{{\cos 2x}} = t\quad 2(1 + \tan ^2 2x)dx = dt\quad dx = \frac{1}{2}\frac{{dt}}{{1 + t^2 }}
\end{align*}
$ x = 0 \to t = 0 $
$x = 2\pi \to = 0 $
\begin{align*}
\tan ^2 2x &= \frac{{\sin ^2 2x}}{{\cos ^2 2x}} = t^2, \quad \sin ^2 2x = t^2,\quad \cos ^2 2x = \frac{1}{2}\frac{{t^2 }}{{1 + t^2 }}dt \\
\int \frac{1}{\sin ^4 x + \cos ^4 x}dx &= \int \frac{1}{1 - \frac{1}{2}\frac{t^2 }{1 + t^2 }} \frac{1}{2}\frac{dt}{1 + t^2 } = \int \frac{dt}{2 + t^2 }
\end{align*}
Bien sur il y a d'autres façon pour la calculer , mais je tiens à celle-ci
là où j’ai trouvé l’intégrale il est écrit, recopie texto:
les nouvelles limites sont toutes les deux égales à zéro. Mais on remarque que $\sin ^4 x + \cos ^4 x$ ne changent pas quand on change $x$ soit en $2\pi - x$, soit en $\pi - x$, soit en $\frac{\pi }{2} - x$.
L’intégrale donnée est donc égale à huit fois celle prise entre zéro et $\frac{\pi }{4}$. Les nouvelles limites sont zéro et $ + \infty $
On a $\displaystyle I=\frac{8}{{\sqrt 2 }}\frac{\pi }{2} = 2\pi \sqrt 2 $
C'est ce huit fois que ne n'arrive pas à comprendre.
Mon pb ce sont les bornes après le changement de variables $I=0$ ce qui est faux si l'on visualise la courbe.Pour le tracé : Wolfram \begin{align*}
I= \int_0^{2\pi } {\frac{1}{{\sin ^4 x + \cos ^4 x}}} dx &=
(\sin ^2 x + \cos ^2 x)^2 = \sin ^4 x + \cos ^4 x + 2\sin ^2 x\cos ^2 x \\
1 &= \sin ^4 x + \cos ^4 x + 2\sin ^2 x\cos ^2 x \\
\sin ^4 x + \cos ^4 x &= 1 - 2\sin ^2 x\cos ^2 x = 1 - \frac{{\sin ^2 2x}}{2} \\
\tan 2x &= \frac{{\sin 2x}}{{\cos 2x}} = t\quad 2(1 + \tan ^2 2x)dx = dt\quad dx = \frac{1}{2}\frac{{dt}}{{1 + t^2 }}
\end{align*}
$ x = 0 \to t = 0 $
$x = 2\pi \to = 0 $
\begin{align*}
\tan ^2 2x &= \frac{{\sin ^2 2x}}{{\cos ^2 2x}} = t^2, \quad \sin ^2 2x = t^2,\quad \cos ^2 2x = \frac{1}{2}\frac{{t^2 }}{{1 + t^2 }}dt \\
\int \frac{1}{\sin ^4 x + \cos ^4 x}dx &= \int \frac{1}{1 - \frac{1}{2}\frac{t^2 }{1 + t^2 }} \frac{1}{2}\frac{dt}{1 + t^2 } = \int \frac{dt}{2 + t^2 }
\end{align*}
Bien sur il y a d'autres façon pour la calculer , mais je tiens à celle-ci
là où j’ai trouvé l’intégrale il est écrit, recopie texto:
les nouvelles limites sont toutes les deux égales à zéro. Mais on remarque que $\sin ^4 x + \cos ^4 x$ ne changent pas quand on change $x$ soit en $2\pi - x$, soit en $\pi - x$, soit en $\frac{\pi }{2} - x$.
L’intégrale donnée est donc égale à huit fois celle prise entre zéro et $\frac{\pi }{4}$. Les nouvelles limites sont zéro et $ + \infty $
On a $\displaystyle I=\frac{8}{{\sqrt 2 }}\frac{\pi }{2} = 2\pi \sqrt 2 $
C'est ce huit fois que ne n'arrive pas à comprendre.