Math-Aide

Bonjour!
1) On me donne la suite (u(n)) telle que u(0)=1/2 et u(n+1)=-(1/8) u(n)²+(3/2) u(n)
On me demande de donner la fonction f telle que u(n+1)=f(u(n)).
J'aurais tendance à prendre f(x))=-(1/8)x²+(3/2)x mais f(0)=0 et ça ne colle pas ????
2) Il faut démontrer par récurrence que 0<=u(n)<=6 .
pour n=0 u(0)=1/2 la propriété est vraie !
pour n+1 , je tourne en rond et je n'arrive pas à conclure ??

Merci pour votre aide!

Bonjour

1) C'est bien la bonne fonction dont il faut étudier les variations.

Le fait que $f(0)=0$ n'a pas d'importance puisqu'on applique $f$ à partie de $u_0$ qui n'est pas nul.

2) Pour la récurrence ce sont les variations de $f$ qui permettent de l'établir.

Bonjour!
Merci pour ta réponse!
On ne peut pas faire la récurrence avec l'expression de u(n+1) ?
Je n'ai jamais rédigé une récurrence avec la fonction f ...

L'étude des variations de $f$ montre que $f$ est croissante dur l'intervalle [0 , 6] avec $f(0)=0$ et $f(6)= \frac{9}{2}$

On suppose vérifié au rang $n$, $0\leq u_n\leq 6$

Si $0\leq u_n\leq 6$ alors $u_{n+1} =f(u_n)\in [0, \frac{9}{2}]$ image de l'intervalle [0,6] par la fonction $f$.

$[0, \frac{9}{2}] \subset [0 , 6]$ donc $u_{n+1} \in [0,6]$

Super! Merci
Pour la partie B, on admet que la fonction f est croissante dans l'intervalle [0;6]
On me demande de démonter "par récurrence" que (u(n)) est croissante ?? (ça semble évident ..)
Je cherche le signe de u(n+1)-u(n) ou je calcule f(n)-f(n-1) ???

a) Initiation ; $u_1=\frac{23}{32}>u_0$

b) On suppose vérifié : $u_n<u_{n+1}$

Comme tous les termes de la suite appartiennent à [0 , 6] sur lequel $f$ est croissante et conserve donc l'ordre, on en déduit que $f(u_n)<f(u_{n+1})$ soit $u_{n+1}<u_{n+2}$.
La récurrence est donc démontrée.

Bonjour!
Merci beaucoup pour ton aide!
Une dernière interrogation:
puisque 0<u(n+1)<6, est ce que je peux écrire:
0<-1/8 (u(n))²+3/2 u(n)<-1/8 (6)²+3/2 *6 ???

Dans ce cas c'est oui car on sait que la fonction $f$ est croissante sur [0 , 6] donc elle conserve l'ordre.
Sans cette propriété de $f$ on ne pourrait pas.

OK! Merci
A+, cordialement, Jon