Calcul d'une somme

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Jon83
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Calcul d'une somme

Message par Jon83 » 21 septembre 2014, 10:08

Bonjour à tous!
Je n'arrive plus à calculer la somme suivante: sommne de k=n+1 à 2n de 1/2k ....
Quelle est la méthode?

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Job
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Re: Calcul d'une somme

Message par Job » 21 septembre 2014, 10:38

Bonjour

Si ce que tu veux calculer est bien $\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{2k}$, il y a un problème.
$\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{2k}=\frac{1}{2} (\sum_{k=1}^{2n} \frac{1}{k}-\sum_{k=1}^n \frac{1}{k})$
On est donc en présence de la série harmonique mais il n'y a pas de formule générique pour donner la somme de la série harmonique au rang $n$.

Jon83
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Re: Calcul d'une somme

Message par Jon83 » 21 septembre 2014, 11:09

En effet, je suis étourdi: le terme à sommer est 1/(2n).... il ne dépend pas de k, donc la somme devient triviale....
Par contre pour la 1ère somme, wolframalpha donne un résultat avec des fonctions phi??? c'est quoi ces fonctions?

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Job
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Re: Calcul d'une somme

Message par Job » 21 septembre 2014, 12:56

Je ne sais pas si c'est de cela qu'il s'agit, pour moi la fonction $\varphi$ est la fonction indicatrice d'Euler c'est-à-dire la fonction, qui à tout entier naturel $n$ fait correspondre le nombre d'entiers naturels compris entre 1 et $n$ et qui sont premiers avec $n$.

JPB
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Re: Calcul d'une somme

Message par JPB » 26 septembre 2014, 07:18

Il ne s'agit pas de la fonction $\varphi$ mais de la fonction $\Psi$ (fonction Psi, appelée aussi fonction digamma), qui est une fonction qu'on aborde guère avant le second cycle universitaire.

Elle est définie par la formule $\Psi(x)=\frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}$ avec $\Gamma(x)=\int_0^{+∞}t^{x-1}e^{-t}d t$.

Une intégration par parties permet de prouver la relation : $\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$. En dérivant cette égalité on obtient $\Gamma'(x+1)=\Gamma(x)+x\Gamma'(x)$ donc $\frac{\Gamma'(x+1)}{\Gamma(x+1)}=\frac1x+\frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}$. Autrement dit, la fonction $\Psi$ vérifie la relation $\Psi(x+1)=\frac1x+\Psi(x)$.

Ceci explique le lien qui existe avec la série harmonique : $\frac1k=\Psi(k+1)-\Psi(k)$ donc par télescopage, $\sum_{k=n+1}^{2n}\frac1k=\Psi(2n+1)-\Psi(n)$-

De même, $\sum_{k=1}^n\frac1k=\Psi(n+1)-\Psi(1)$, et il est possible de prouver (bien que cela ne soit pas élémentaire) que $\Psi(1)=-\gamma$, la constante d'Euler. Autrement dit, $\sum_{k=1}^n\frac1k=\Psi(n+1)+\gamma$.

Jon83
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Re: Calcul d'une somme

Message par Jon83 » 03 août 2019, 18:59

Je reçois un notification ce samedi 03/08/2019 ???
merci tout de même pour vos interventions....

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