On se place dans un plan contenant le foyer optique O. On munit ce plan d'un repère orthonormé : $ (O,\vec{i}, \vec{j})$. Ce plan est complété d'un troisième vecteur $ \vec{k}$, de sorte que, $ (O,\vec{i}, \vec{j},\vec{k})$ soit une base orthonormée de l'espace. On considère également une courbe $ \Gamma$ d'équations $ y = f(x)$ et $ z = 0$, avec f une fonction de classe $ C^1$, et $ M = (x,f(x),0)$ un point de cette courbe, en lequel arrive un rayon incident dirigé par le vecteur $ - \vec{i}$, On note $ \theta_i$ l'angle d'incidence et $ \theta_r$ l'angle de refraction (cf image ci-dessous)
Montrer que $\sin(\theta_i) = \frac{1}{\sqrt{1 + f^{\prime 2}}}$.
Sans être sûr, je pars du vecteur unitaire de la tangente à $\Gamma$ en M : $(\frac{1}{\sqrt{1 + f^{\prime 2}}},\frac{f^{\prime}(x)}{\sqrt{1 + f^{\prime 2}}})$
Je projette le vecteur unitaire colinéaire à la normale à $\Gamma$ en M , et dirigé dans le sens des x croissants sur les axes $(Ox)$ et $(Oy)$ pour obtenir que ses coordonnées sont :
$(\cos(\theta_i), \sin(\theta_i))$
Donc par orthogonalité de la normale et de la tangente à $\Gamma$ $\frac{\cos(\theta_i)}{\sqrt{1 + f^{\prime 2}}} = \frac{-\sin(\theta_i) f^{\prime}}{\sqrt{1 + f^{\prime 2}}} $
Par élévation au carré : $\frac{\cos^2(\theta_i)}{1 + f^{\prime 2}} = \frac{\sin(\theta_i)^2 f^{\prime 2}}{1 + f^{\prime 2}}$
D'où en utilisant le fait que :
$\sin^2(\theta_i) + \cos^2(\theta_i) = 1$
$\sin^2(\theta_i) = \frac{1}{1 + f^{\prime 2}}$
Ensuite, je n'arrive pas à trouver une expression de $ \sin(\theta_r)$, puis une équation différentielle de la forme :
$ n \frac{x + y^{\prime}y}{\sqrt{x^2 + y^2}}=0$ (avec n une constante qui dépend des indices de réfraction $ n_r$ et d'incidence $ n_i$ : dans la loi de Snell-Descartes
$ n_i \sin(\theta_i) = n_r \sin(\theta_r)$ aucune autre loi physique que celle-ci n'est supposée connue dans le problème)
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