Devoir maison limite de suite et démonstration par l'absurde

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cayetana
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Devoir maison limite de suite et démonstration par l'absurde

Message par cayetana » 03 novembre 2019, 05:22

Bonjour, je suis bloqué sur un exercice, pourrait-on m'aider s'il vous plait?
On considere une suite (Un) de premier terme U0 = a (a>0) et vérifiant, pour tout entier naturel n, Un+1= Un^2/5. On a représenté ci-dessous dans un repère orthonormé la parabole d'équation y=x^2/5 et la droite d'équation y=x.
On admet que: "Si la suite (Un) converge vers un nombre réel l , alors l est solution de l'équation x^2=5x."
On suppose dans cette question que a>5
1/ Démontrer par l'absurde que la suite (Un) n'est pas majorée
2/ Quelle est la limite de la suite (Un)

Peut-on m'expliquer comment faire un raisonnement par l'absurde?

J'ai essayé ceci :
Supposons que la suite soit majorée. Etant croissante, on peut conclure qu'elle converge vers une limite finie L.
L=L^2/5
L=5
On a ainsi une contradiction.
La supposition de départ est donc absurde.
On en déduit que la suite de peux converger vers 5, étant donné qu'elle est croissante et que son rang initial est lui-même égal à5.
Et donc la suite Un n'est pas majorée par L.

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Re: Devoir maison limite de suite et démonstration par l'absurde

Message par Job » 03 novembre 2019, 11:04

Bonjour

Votre démarche pour une démonstration par l'absurde est correcte mais il manque une démonstration pour justifier que la suite est croissante.

a) Par récurrence : $\forall n\in {\mathbb N}, u_n>5$
* vérifié pour $u_0$
* Si $u_n>5$ alors $u_{n+1}=\frac{u_n^2}{5}>5$

b) $u_{n+1}-u_n=\frac{u_n^2}{5}-u_n=\frac{1}{5} u_n (u_n-5)>0$ donc la suite est croissante.

Ensuite, ce que vous avez écrit est correct.

2) La suite étant croissante et non majorée, elle a pour limite + l'infini.

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