autre sujet suites

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nico033
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autre sujet suites

Message par nico033 » 07 octobre 2019, 23:07

Re Bonsoir Job;

Voici un autre exercice sur les suites
u0 = 0 , u1 = 1
un+2 = un+1 + un

calculer u2, u3; u4, u5 et u6

Déterminer lambda et H tel que un = lambda q1^n + H q2^n

Montrer que lim (un+1/un) = (1+ rac 5) / (2)

Montrer que un+1 - un-1 - un^2 = (-1)^n

Montrer que PGCD (un, un+1) = 1
Montrer que pour tout n appartenant à IN, un appartient à IN étoile

On pose Sn = u0 + u1 + .......+un = sigma uk
Calculer SO, S1, S2, S3 , S4
Montrer que Sn = un+2 - 1 pour tout n appartenant à IN

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Job
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Re: autre sujet suites

Message par Job » 08 octobre 2019, 17:23

Bonjour nico

Pour démarrer : $u_2=1\ ;\ u_3=2\ ;\ u_4=3\ ;\ u_5=5\ ;\ u_6=8$ (C'est la suite de Fibonacci)

$u_n=\lambda q_1^n+\mu q_2^n$

On écrit la relation pour $n=0$, 1 , 2 et 3 :
$\lambda +\mu =0$
$\lambda q_1+\mu q_2=1$
$\lambda q_1^2+\mu q_2^2 =1$
$\lambda q_1^3+\mu q_2^3 =2$

On déduit que $\mu=-\lambda$ puis $\lambda(q_1-q_2)=1$
$\lambda (q_1-q_2)(q_1+q_2)=1$ donc $q_1+q_2=1$
$\lambda (q_1-q_2)(q_1^2+q_2^2+q_1q_2)=2$

Donc $(q_1+q_2)^2-q_1q_2=2$ soit $q_1q_2=-1$

On déduit que $q_1$ et $q_2$ ayant pour somme 1 et pour produit (-1) sont racines de l'équation $x^2-x-1=0$
$\displaystyle q_1=\frac{1+\sqrt 5}{2}\ q_2=\frac{1-\sqrt 5}{2}$
$\displaystyle \lambda =\frac{1}{q_1-q_2}=\frac{1}{\sqrt 5}$

$\displaystyle u_n=\frac{1}{\sqrt 5}[(\frac{1+\sqrt 5}{2})^n -(\frac{1-\sqrt 5}{2})^n]$

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