espace vectoriel normé

Aide sur les questions d'analyses.
Louie
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espace vectoriel normé

Message par Louie » 06 septembre 2019, 19:17

Bonjour,
Y a t il quelq'un qui pourrait m'aider pour résoudre les questions numéro 3 et 4. b.
On définit l’application :
$d:\mathbb{R}^2→\mathbb{R}$
$(x, y) →\Big| \frac{x}{1+ |x|}- \frac{y}{1+ |y|}\Big |. $
1 Montrer que d(x, y) est une distance sur $\mathbb{R}^2$ .
2. Cette distance est-elle induite par une norme ?
3. On munit $\mathbb{R}$ de cette distance. Montrer que $ \mathbb{R}$ est bornée. Calculer son diamétre.On rappelle que le diamétre d'une partie $A∈R^n$bornée est :
$$sup\{d(x, y)/ x, y∈A\}.$$
4. De façon plus générale, à toute bijection $f:\mathbb{R}→I⊂ \mathbb{R}$, on associé l’application :
$df:\mathbb{R}^2→\mathbb{R}$
$(x, y)→ |f(x)−f(y)|$
(a) Montrer que $d_f$ est une distance sur $\mathbb{R}$.
(b) Trouver une condition nécessaire et suffisante portant sur f pour que $d_f$ soit induite par une norme.

Merci d'avance.

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Job
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Re: espace vectoriel normé

Message par Job » 07 septembre 2019, 16:39

bonjour

Question 3
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $\displaystyle f(x)=\frac{x}{1+|x|}$.

$f$ est continue, impaire, strictement croissante et $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)=1$ donc $f({\mathbb R})=]-1,1[$.

$\displaystyle d(x,y)=|f(x)-f(y)|$ donc A est bornée, de diamètre 2.

Question 4. (b)

$f$ linéaire est une condition suffisante, il reste à montrer qu'elle est nécessaire.

Louie
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Re: espace vectoriel normé

Message par Louie » 07 septembre 2019, 17:38

Bonjour, merci tu veux dire $\mathbb{R}$ bornée pas A

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