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Bonsoir besoin des indices s'il vous plaît
Re: Bonsoir besoin des indices s'il vous plaît
Bonsoir
Dans ces exercices, quelle est la définition de la fonction $f$ ?
Est-ce précisé dans un exercice précédent ?
Dans ces exercices, quelle est la définition de la fonction $f$ ?
Est-ce précisé dans un exercice précédent ?
Oui oui excusez moi voici le début de l'exercice
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Re: Bonsoir besoin des indices s'il vous plaît
Bonjour
6) a. $\displaystyle \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$
$\displaystyle S_n=\sum_{k=n}^{2n} (\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})=\sum_{k=n}^{2n}\frac{1}{k}-\sum_{k=n+1}^{2n+1}\frac{1}{k}=\frac{1}{n}-\frac{1}{2n+1}=\frac{n+1}{n(2n+1)}$
b. c. $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \frac{n+1}{n(2n+1)}=0$ donc la suite $S_n$ converge vers 0
d. Se déduit immédiatement du résultat de la question 5.
e. Puisque $\lim S_n=0$, on en déduit, par encadrement $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} (\sum_{k=n}^{2n} f(k))=0$
7) a. $\displaystyle \sum_{k=n}^{2n} f(k) =\sum_{k=n}^{2n} \frac{1}{k} +\sum_{k=n}^{2n} \ln (\frac{k}{k+1})=u_n+\sum_{k=n}^{2n} \ln (\frac{k}{k+1})$
$\displaystyle \sum_{k=n}^{2n} \ln (\frac{k}{k+1})=\sum_{k=n}^{2n} (\ln k -\ln (k+1))=\sum_{k=n}^{2n}\ln k -\sum_{k=n}^{2n} \ln (k+1)=\sum_{k=n}^{2n}\ln k -\sum_{k=n+1}^{2n+1}\ln k =\ln n -\ln (2n+1)=\ln (\frac{n}{2n+1})$
$\displaystyle \sum_{k=n}^{2n} f(k)=u_n +\ln (\frac{n}{2n+1})$
b.c. $\displaystyle u_n=\sum_{k=n}^{2n} f(k) +\ln (\frac{n}{2n+1})$
$\displaystyle \lim\sum_{k=n}^{2n} f(k)=0$ ; $\displaystyle \lim \frac{n}{2n+1} =\frac{1}{2}$
On en déduit que $(u_n)$ est convergente et a pour limite $\displaystyle -\ln (\frac{1}{2}) =\ln 2$
6) a. $\displaystyle \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$
$\displaystyle S_n=\sum_{k=n}^{2n} (\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})=\sum_{k=n}^{2n}\frac{1}{k}-\sum_{k=n+1}^{2n+1}\frac{1}{k}=\frac{1}{n}-\frac{1}{2n+1}=\frac{n+1}{n(2n+1)}$
b. c. $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \frac{n+1}{n(2n+1)}=0$ donc la suite $S_n$ converge vers 0
d. Se déduit immédiatement du résultat de la question 5.
e. Puisque $\lim S_n=0$, on en déduit, par encadrement $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} (\sum_{k=n}^{2n} f(k))=0$
7) a. $\displaystyle \sum_{k=n}^{2n} f(k) =\sum_{k=n}^{2n} \frac{1}{k} +\sum_{k=n}^{2n} \ln (\frac{k}{k+1})=u_n+\sum_{k=n}^{2n} \ln (\frac{k}{k+1})$
$\displaystyle \sum_{k=n}^{2n} \ln (\frac{k}{k+1})=\sum_{k=n}^{2n} (\ln k -\ln (k+1))=\sum_{k=n}^{2n}\ln k -\sum_{k=n}^{2n} \ln (k+1)=\sum_{k=n}^{2n}\ln k -\sum_{k=n+1}^{2n+1}\ln k =\ln n -\ln (2n+1)=\ln (\frac{n}{2n+1})$
$\displaystyle \sum_{k=n}^{2n} f(k)=u_n +\ln (\frac{n}{2n+1})$
b.c. $\displaystyle u_n=\sum_{k=n}^{2n} f(k) +\ln (\frac{n}{2n+1})$
$\displaystyle \lim\sum_{k=n}^{2n} f(k)=0$ ; $\displaystyle \lim \frac{n}{2n+1} =\frac{1}{2}$
On en déduit que $(u_n)$ est convergente et a pour limite $\displaystyle -\ln (\frac{1}{2}) =\ln 2$
Re: Bonsoir besoin des indices s'il vous plaît
Merci j'ai très bien compris maintenant