salut a tous c'est mon premier question je suis un eleve au bac (tunisie ) section math ... voila mon probleme :
Soit a∈ ]0 ,½[ . on considére la suite (Un) définie par Un = aⁿ/n! pour tout entier naturel n .
1-a montrer que la suite (Un) est de croissante
b-montrer que pour tout n≥0 , on Un+1 ≤½Un
c-en deduire que lim Un=0 lorsque n tend vers + l'infini .
merci beaucoup
suite reel difficille !
Re: suite reel difficille !
Bonjour
1-a $u_{n+1}-u_n=\frac{a^{n+1}}{(n+1)!}-\frac{a^n}{n!}=\frac{a^{n+1}-(n+1)a^n}{(n+1)!}=\frac{a^n(a-(n+1))}{(n+1)!}$
Comme $a<\frac{1}{2}$, $a-(n+1)<0$ donc $u_{n+1}-u_n<0$. La suite est donc décroissante.
b $u_{n+1}=\frac{a}{n+1} \times \frac{a^n}{n!}=\frac{a}{n+1}\times u_n$
$a<\frac{1}{2} \Longrightarrow \frac{a}{n+1}<\frac{1}{2}$ d'où la conclusion.
c De la question b, on déduit par récurrence que $u_n\leq (\frac{1}{2})^n u_0=(\frac{1}{2})^n$
$\lim (\frac{1}{2})^n =0$ car $0<\frac{1}{2}<1$ donc $\lim u_n=0$
1-a $u_{n+1}-u_n=\frac{a^{n+1}}{(n+1)!}-\frac{a^n}{n!}=\frac{a^{n+1}-(n+1)a^n}{(n+1)!}=\frac{a^n(a-(n+1))}{(n+1)!}$
Comme $a<\frac{1}{2}$, $a-(n+1)<0$ donc $u_{n+1}-u_n<0$. La suite est donc décroissante.
b $u_{n+1}=\frac{a}{n+1} \times \frac{a^n}{n!}=\frac{a}{n+1}\times u_n$
$a<\frac{1}{2} \Longrightarrow \frac{a}{n+1}<\frac{1}{2}$ d'où la conclusion.
c De la question b, on déduit par récurrence que $u_n\leq (\frac{1}{2})^n u_0=(\frac{1}{2})^n$
$\lim (\frac{1}{2})^n =0$ car $0<\frac{1}{2}<1$ donc $\lim u_n=0$
Re: suite reel difficille !
Merci infiniment !