Bonjour,
Je cherche de l'aide pour cet exercice. MERCI D'AVANCE
majorant, minorant
majorant, minorant
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Re: majorant, minorant
Bonjour
Question 1
a) Soit $x\in A\cup B$ alors $x\in A$ ou $x\in B$
Si $x\in A$ alors $x\leq \sup A$ donc $x\leq \max\ (\sup A , \sup B)$
De même si $x\in B$ alors $x\leq \sup B$ donc $x\leq \max\ (\sup A , \sup B)$
Donc $ A\cup B$ est majoré par $\max\ (\sup A , \sup B)$ et comme le sup est le plus petit des majorants , $\sup (A\cup B) \leq \max (\sup A, \sup B)$
Pour démontrer l'égalité, il faut démontrer l'inégalité inverse.
$A\subset A\cup B$ donc $\forall x\in A, x\in A\cup B$ donc $x\leq \sup (A\cup B)$. Le sup étant le plus petit des majorants, $\sup A\leq \sup (A\cup B)$
On démontre de même sue $\sup B \leq \sup (A\cup B)$
Donc $\max\ (\sup A , \sup B)\leq \sup (A\cup B)$
D'où l'égalité : $\sup (A\cup B) =\max\ (\sup A , \sup B)$
b) De même que dans la démonstration précédente :
$A\cap B \subset A\Longrightarrow \sup (A\cup B)\leq \sup A$ et $A\cap B \subset B\Longrightarrow \sup (A\cup B)\leq \sup B$
Donc $A\cap B$ est majoré et $\sup (A\cap B) \leq \min (\sup A, \sup B)$
$A=\{1,2\}\ ;\ B =\{1,3\}\ ;\ A\cap B =\{1\}$
$\sup A = 2\ ;\ \sup B =3\ ;\ \sup (A\cap B)=1$. L'inégalité est donc stricte.
c) $A$ et $B$ sont non vides donc $A+B$est non vide.
$\forall (a,b)\in A\times B,\ a\leq \sup A$ et $b\leq \sup B$ donc $a+b\leq \sup A +\sup B$
$A+B$ est donc majoré et comme le sup est le plus petit des majorants $\sup (A+B) \leq \sup A +\sup B$
On montre l'inégalité inverse.
$\forall (a,b)\in A\times B,\ a+b\leq \sup (A+B)$ soit $a\leq \sup (A+B)-b$
Cette inégalité étant vraie pour tout $a\in A$, $\sup A\leq \sup (A+B) -b$
Donc $b\leq \sup (A+B) -\sup A$
Cette inégalité étant vraie pour tout $b\in B$, $\sup B \leq \sup (A+B)-\sup A$
Soit $\sup A+\sup B \leq \sup (A+B)$
d) $\forall a\in A, a\leq \sup A$ donc $ka\leq k\sup A$ (puisque $k$ strictement positif.
$kA$ est donc majoré et $\sup (kA)\leq k\sup A$
On applique cette inégalité à la partie $kA$ non vide de $\mathbb R$ et au réel strictement positif $\frac{1}{k}$
$\sup (\frac{1}{k}(kA))\leq \frac{1}{k}\sup (kA)$ soit $\sup A\leq \frac{1}{k}\sup (kA)$
Donc $k\sup A \leq \sup (kA)$ d'où l'égalité.
Je regarderai la question 2 plus tard mais les méthodes sont identiques.
Question 1
a) Soit $x\in A\cup B$ alors $x\in A$ ou $x\in B$
Si $x\in A$ alors $x\leq \sup A$ donc $x\leq \max\ (\sup A , \sup B)$
De même si $x\in B$ alors $x\leq \sup B$ donc $x\leq \max\ (\sup A , \sup B)$
Donc $ A\cup B$ est majoré par $\max\ (\sup A , \sup B)$ et comme le sup est le plus petit des majorants , $\sup (A\cup B) \leq \max (\sup A, \sup B)$
Pour démontrer l'égalité, il faut démontrer l'inégalité inverse.
$A\subset A\cup B$ donc $\forall x\in A, x\in A\cup B$ donc $x\leq \sup (A\cup B)$. Le sup étant le plus petit des majorants, $\sup A\leq \sup (A\cup B)$
On démontre de même sue $\sup B \leq \sup (A\cup B)$
Donc $\max\ (\sup A , \sup B)\leq \sup (A\cup B)$
D'où l'égalité : $\sup (A\cup B) =\max\ (\sup A , \sup B)$
b) De même que dans la démonstration précédente :
$A\cap B \subset A\Longrightarrow \sup (A\cup B)\leq \sup A$ et $A\cap B \subset B\Longrightarrow \sup (A\cup B)\leq \sup B$
Donc $A\cap B$ est majoré et $\sup (A\cap B) \leq \min (\sup A, \sup B)$
$A=\{1,2\}\ ;\ B =\{1,3\}\ ;\ A\cap B =\{1\}$
$\sup A = 2\ ;\ \sup B =3\ ;\ \sup (A\cap B)=1$. L'inégalité est donc stricte.
c) $A$ et $B$ sont non vides donc $A+B$est non vide.
$\forall (a,b)\in A\times B,\ a\leq \sup A$ et $b\leq \sup B$ donc $a+b\leq \sup A +\sup B$
$A+B$ est donc majoré et comme le sup est le plus petit des majorants $\sup (A+B) \leq \sup A +\sup B$
On montre l'inégalité inverse.
$\forall (a,b)\in A\times B,\ a+b\leq \sup (A+B)$ soit $a\leq \sup (A+B)-b$
Cette inégalité étant vraie pour tout $a\in A$, $\sup A\leq \sup (A+B) -b$
Donc $b\leq \sup (A+B) -\sup A$
Cette inégalité étant vraie pour tout $b\in B$, $\sup B \leq \sup (A+B)-\sup A$
Soit $\sup A+\sup B \leq \sup (A+B)$
d) $\forall a\in A, a\leq \sup A$ donc $ka\leq k\sup A$ (puisque $k$ strictement positif.
$kA$ est donc majoré et $\sup (kA)\leq k\sup A$
On applique cette inégalité à la partie $kA$ non vide de $\mathbb R$ et au réel strictement positif $\frac{1}{k}$
$\sup (\frac{1}{k}(kA))\leq \frac{1}{k}\sup (kA)$ soit $\sup A\leq \frac{1}{k}\sup (kA)$
Donc $k\sup A \leq \sup (kA)$ d'où l'égalité.
Je regarderai la question 2 plus tard mais les méthodes sont identiques.