Une identité pour résoudre un système

[Shareman]

Bonjour,

Dans cet exercice assez difficile, on utilise une identité remarquable pour simplifier la résolution d'un système.
Il est sorti d'un ancien livre d'une classe 1ère. Merci pour la vérification et les commentaires.

Vérifier l'identité Lagrange :
$(ax+by)^2+(bx-ay)^2=(a^2+b^2)(x^2+y^2)$
Un système de 2 équations à 2 inconnues avec un paramètre :
$\left\{
\begin{array}{l}
4x+3y=h \\
x^2+y^2=m^2
\end{array}
\right.$
Dans lequel $m$ est le paramètre et $h$ un nombre donné.
1°) Discuter et résoudre ce système dans $\mathbb{R}$ suivant les valeurs de $m$.
2°) Calculer en fonction de $h$, le minimum de $x^2+y^2$, et les valeurs correspondantes de $x$ et de $y$.
______________________________________________________________________

Préambule : en posant : $a=-b$ et $b=-a$, cette identité peut aussi s'écrire :
$(x^2+y^2)\big[(-a)^2+(-b)^2\big]=(-bx-ay)^2+(-ax+by)^2=(ay+bx)^2+(by-ax)^2=(a^2+b^2)+(x^2+y^2).$
Par ailleurs, en cherchant un peu, j'en ai trouvé une autre :
$(a^2-b^2)(c^2-d^2)=(ac+bd)^2-(ad+bc)^2$
De la même façon, en posant $a=-b$ et $b=-a$ on obtient :
$(a^2-b^2)(c^2-d^2)=(ad+bc)^2-(ac+bd)^2$.
Question : peut on parler d'expressions symétriques ?

1.) La mise en forme en utilisant l'identité :
$(x^2+y^2)(4^2+3^2)=25m^2$
De cette façon on en déduis :
$(4x+3y)^2+(3x-4y)^2=25m^2$
En prenant en compte que : $(4x+3y)^2=h^2$, le système devient linéaire :
$\left\{
\begin{array}{l}
4x+3y=h \\
(3x-4y)^2=25m^2-h^2
\end{array}\iff \left\{
\begin{array}{l}
4x+3y=h \\
3x-4y=\pm\sqrt{25m^2-h^2}
\end{array}
\right.
\right.$
Deux valeurs possibles pour le terme constant de la 2ème ligne, donc deux solutions pour $x$ et $y$.
La discussion suivant $m$ doit porter sur l'expression sous la racine : $25m^2-h^2\ge 0.$
Cette expression est toujours positive ssi $5m\in ]-\infty;-h]\cup[+h;+\infty[\,$. CQFD ?

Par combinaisons linéaires : $3L_1-4L_2$ et $4L_1-3L_2$, on en tire les valeurs :
$x_1=\dfrac{1}{25}(4h-3\sqrt{25m^2-h^2})$ et $y_1=\dfrac{1}{25}(3h+4\sqrt{25m^2-h^2})$
$x_2=\dfrac{1}{25}(4h+3\sqrt{25m^2-h^2})$ et $y_2=\dfrac{1}{25}(3h-4\sqrt{25m^2-h^2})$

2.) Le minimum de $x^2+y^2=m^2$ est celui de $m^2$ ?
$\quad(3x-4y)^2=25m^2-h^2\iff m^2=\dfrac{1}{25}\Big[(3x-4y)^2+h^2\Big].$
Pour une valeur de $h$ fixée, $m^2$ est minimal pour $3x=4y.$ CQFD ?

J'ai eu du mal pour en venir à bout
@+

[Job]

Bonjour

Dans le préambule, la dernière identité écrite est fausse car en remplaçant $a$ par $-b$ et $b$ par $-a$, $a^2-b^2$ devient $(-b)^2-(-a)^2 =b^2-a^2$.
Je ne dirais pas que ce sont des expressions symétriques, pour moi il s'agît de la même expression.

1°) On ne précise pas le signe de $h$ donc si $h\leq 0$, on aurait comme condition pour qu'il y ait des solutions $5m\in ]-\infty , h] \cup [-h, +\infty[$

Pour éviter d'avoir à distinguer 2 cas , le plus simple est d'écrire comme condition : $25m^2-h^2\geq 0 \Longleftrightarrow |5m|\geq |h|$.

Je n'aurais pas écrit tout de suite l'équivalence mais discuter avant de l'écrire soit :
* Si $|5m|<|h|$ le système n'a pas de solution.
* Si $|5m|=|h|$ le système admet une solution et on résout alors $\left\{\begin{array}{rcl}4x+3y=h\\ 3x-4y=0\end{array}\right.$
* Si $|5m|>|h|$ ... (ce que vous avez fait pour résoudre)

2°) D'accord et pour trouver $x$ et $y$ , on retrouve le système $\left\{\begin{array}{rcl}4x+3y=h\\ 3x-4y=0\end{array}\right.$

[Shareman]

Merci pour ta réponse.
Après coup, cf préambule de l'identité, comme ces expressions utilisent des carrés, çelà "fausse" le jugement et fait croire à de la symétrie ?

1°) On ne précise pas le signe de $h$ donc si $h\leq 0$, on aurait comme condition pour qu'il y ait des solutions $5m\in ]-\infty , h] \cup [-h, +\infty[$
Pour éviter d'avoir à distinguer 2 cas , le plus simple est d'écrire comme condition : $25m^2-h^2\geq 0 \Longleftrightarrow |5m|\geq |h|$.

Tu veux me dire que : $a=b\ \Longrightarrow\ a^2=b^2,$ mais qu'on a toujours $|a|=|b|\iff a^2=b^2$ ?
Pendant la rédaction, j'ai pensé au signe de $h$, mais je ne suis dit que le fait d'écrire :
$(4x+3y)^2=h^2$ me dispensait de la discussion avec le signe de $h$ ?

Je n'aurais pas écrit tout de suite l'équivalence mais discuter avant de l'écrire soit :
* Si $|5m|<|h|$ le système n'a pas de solution.
* Si $|5m|=|h|$ le système admet une solution et on résout alors $\left\{\begin{array}{rcl}4x+3y=h\\ 3x-4y=0\end{array}\right.$

Dans ce cas, la solution est : $x=\dfrac{1}{25}4h$, et $y=\dfrac{1}{25}3h.$

Ces exercices, puisés dans des vieux livres, ne sont pas évident du tout.
@+

[Job]

Tu veux me dire que : $a=b\ \Longrightarrow\ a^2=b^2,$ mais qu'on a toujours $|a|=|b|\iff a^2=b^2$ ?

C'est bien ça. En particulier quand on a une équation du type $(f(x))^2=g(x)$ avec $g(x)\geq 0$ cela équivaut à $f(x)=\sqrt{g(x)}$ ou $f(x)=-\sqrt{g(x)}$

Ces exercices, puisés dans des vieux livres, ne sont pas évident du tout.
@+

Les programmes n'étaient pas non plus les mêmes. Par exemple sur le second degré, on approfondissait davantage en utilisant beaucoup plus la somme et le produit des racines. Voilà un exercice qu'on ne fait plus guère aujourd'hui.

Soit le trinôme $x^2-3x-7$. Ce trinôme admet des racines car $a$ et$c$ sont de signes contraires. Soit $x_1$ et $x_2$ les racines. Sans calculer ces racines, calculer $x_1^2+x_2^2$

$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{3}{2}$ et $x_1x_2=\frac{c}{a}=-\frac{7}{2}$
$x_1^2+x_2^2=\frac{9}{4}+7=\frac{37}{4}$

[Shareman]

Merci pour ta réponse, j'ai une petite (dernière) question
Résoudre le système de l'énoncé :
$\left\{
\begin{array}{l}
4x+3y=h \\
x^2+y^2=m^2
\end{array}
\right.$
cela permet de déterminer les points d'intersections d'un cercle et d'une droite, avec le rayon en paramètre ?
Le calcul du minimum se rapporte au rayon minimal du cercle pour que la droite soit tangente ou bien coupe le cercle ?

@+

[Job]

Le minimum correspond au rayon du cercle pour que la droite soit tangente au cercle et dans ce cas les solutions du système soit $x=\frac{4}{25} h$ et $y=\frac{3}{25} h$ sont les coordonnées du point de tangence.