Bonsoir,
Je n'arrive pas du tout à comprendre le devoir maison que je dois rendre pour la rentrée , pourriez vous m'aider svp
Un constructeur aéronautique propose a sa clientele 4 types d'avions et 2 types de moteurs
Moteur A et moteur B
un bimoteur , un trimoteur, un quadrimoteur modèle alpha, un quadrimoteur modèle bêta
Le moteur A équipe les bimoteurs et les quadrimoteurs modèle alpha
le moteur central du trimoteur est de type B et ceux des ailes de type A. Le moteur B équipe les quadrimoteurs modèle béta
chacun des moteurs d'un avion peut tomber en panne indépendamment des autres avec la proba q pour un moteur de type A et la proba q' pour les moteurs de type B avec q et q' deux nombres réels compris entre 0 et 1
Le trimoteur peut poursuivre son vol si le moteur central ou les deux moteurs d'ailes sont en état
montrer que la proba pour qu'un trimoteur puisse finir son vol est q'(1-q)^2 + 1 - q'
un bimoteur ou quadrimoteur modèle alpha reste en vol si au moins la moitié de ses moteurs fonctionnent
montrer que la proba qu'un bimoteur termine son vol est 1-q^2
montrer que la proba qu'un quadrimoteur modèle alpha termine son vol est (1-q)^2(1+2q+3q^2)
montrer que dire que les bimoteurs sont plus surs que les quadrimoteurs de type alpha équivaut à dire que (1-q)(3q-1)q^2 est supérieur à 0
En déduire qu'alors 1 supérieur à q supérieur à 1/3
Un quadrimoteur de modèle bêta se maintient en vol si au moins deux moteurs places symétriquement sont en état de marche
on note u la proba qu'un quadrimoteur de modèle bêta termine son vol
montrer que u = (1-Q')^2(1+2q'-q'^2)
en posant p' = 1- q' montrer que u = 2p'^2-p'^4
déterminer les valeurs de q' tels que l'on ait u supérieur à 0,99
proba
Re: proba
Bonjour
Quadrimoteur La probabilité que les 2 moteurs d'aile fonctionnent et que le moteur central soit en panne est : $q'(1-q)^2$ et la probabilité que le moteur central fonctionne est $1-q'$.
La probabilité cherchée est donc : $q'(1-q)^2 +1-q'$
Bimoteur Un bimoteur est en panne si les 2 moteur sont en panne donc avec une probabilité $q^2$. La probabilité qu'il termine son vol est donc $1-q^2$
Quadrimoteur de type $\alpha$
3 possibilités : 2 sur 4 des moteurs fonctionnent ou bien 3 sur 4 ou les 4 fonctionnent. La probabilité qu'il termine son vol est donc :
${4\choose 2} q^2(1-q)^2+{4\choose 3}q(1-q)^3 +(1-q)^4=(1-q)^2(6q^2+4q(1-q)+(1-q)^2)=(1-q^2)(3q^2+2q+1)$
$1-q^2>(1-q^2)(3q^2+2q+1)$
$(1-q)(1+q)-(1-q^2)(3q^2+2q+1)>0$
$(1-q)[(1+q)-(1-q)(3q^2+2q+1)]>0$
$(1-q)(3q^3-q^2)>0$
$q^2(1-q)(3q-1)>0$
D'après la règle sur le signe du trinôme, $(1-q)(3q-1)>0$ entre les racines soit $\frac{1}{3} <q<1$
Quadrimoteur de type $\beta$
Il reste en vol si les 4 moteurs fonctionnent ou 3 seulement ou 2 places symétriquement (donc 2 possibilités)
$u=(1-q')^4 +{4\choose 3} (1-q')^3q'+2(1-q')^2q'^2$
$u=(1-q')^2[(1-q')^2+4q'(1-q')+2q'^2]$
$u=(1-q')^2(1+2q'-q'^2)$
$u=p'^2[1+2(1-p')-(1-p')^2]=p'^2(1+2-2p'-1+2p'-p'^2)=p'^2(-p'^2+2)=2p'^2-p'^4$
En posant $p'^2=x$ il faut résoudre $2x-x^2>0,99$ soit $x^2-2x+0,99<0$ ou $(x-1)^2-0,01<0$
$(x-1)^2<0,01$
$0<p'<1$ donc $0<x<1$. On a donc $1-x<0,1$ soit $x>0,9$ donc $p'>0,94$ et $q'<0,06$
Quadrimoteur La probabilité que les 2 moteurs d'aile fonctionnent et que le moteur central soit en panne est : $q'(1-q)^2$ et la probabilité que le moteur central fonctionne est $1-q'$.
La probabilité cherchée est donc : $q'(1-q)^2 +1-q'$
Bimoteur Un bimoteur est en panne si les 2 moteur sont en panne donc avec une probabilité $q^2$. La probabilité qu'il termine son vol est donc $1-q^2$
Quadrimoteur de type $\alpha$
3 possibilités : 2 sur 4 des moteurs fonctionnent ou bien 3 sur 4 ou les 4 fonctionnent. La probabilité qu'il termine son vol est donc :
${4\choose 2} q^2(1-q)^2+{4\choose 3}q(1-q)^3 +(1-q)^4=(1-q)^2(6q^2+4q(1-q)+(1-q)^2)=(1-q^2)(3q^2+2q+1)$
$1-q^2>(1-q^2)(3q^2+2q+1)$
$(1-q)(1+q)-(1-q^2)(3q^2+2q+1)>0$
$(1-q)[(1+q)-(1-q)(3q^2+2q+1)]>0$
$(1-q)(3q^3-q^2)>0$
$q^2(1-q)(3q-1)>0$
D'après la règle sur le signe du trinôme, $(1-q)(3q-1)>0$ entre les racines soit $\frac{1}{3} <q<1$
Quadrimoteur de type $\beta$
Il reste en vol si les 4 moteurs fonctionnent ou 3 seulement ou 2 places symétriquement (donc 2 possibilités)
$u=(1-q')^4 +{4\choose 3} (1-q')^3q'+2(1-q')^2q'^2$
$u=(1-q')^2[(1-q')^2+4q'(1-q')+2q'^2]$
$u=(1-q')^2(1+2q'-q'^2)$
$u=p'^2[1+2(1-p')-(1-p')^2]=p'^2(1+2-2p'-1+2p'-p'^2)=p'^2(-p'^2+2)=2p'^2-p'^4$
En posant $p'^2=x$ il faut résoudre $2x-x^2>0,99$ soit $x^2-2x+0,99<0$ ou $(x-1)^2-0,01<0$
$(x-1)^2<0,01$
$0<p'<1$ donc $0<x<1$. On a donc $1-x<0,1$ soit $x>0,9$ donc $p'>0,94$ et $q'<0,06$