Décomposition en éléments simple 1

[Jean37]

Alors voici ce deuxième exo dont l'énoncé est le suivant :
Décomposer en éléments simples dans R et dans C, les fractions rationnelles suivantes :

a)(x + 2)/(x − 1)(x + 3) et b)1/(x − 1)^3(x^2 + 1).

Mes réponses sont:
selon mon cours,(x + 2)/(x − 1)(x + 3)=a/(x + 2)+b/(x + 3)= ((a+b)x+3a+2b)/(x − 1)(x + 3)
Par identification,
On obtient
{a + b = 1
{3a +2b = 2 donc a=0 et b=1 ,par conséquent la décomposition donne :

(x + 2)/(x − 1)(x + 3)=0/(x + 2)+1/(x + 3)=1/(x + 3) ce qui est bizarre
b)1/(x − 1)^3+1/(x^2 + 1)

Mais dans c,je vais relire le cours et je posterai ça demain avec d'autres exos.

[Job]

Il y a une erreur d'étourderie : $x+2$ est au numérateur et non au dénominateur.

$\frac{x+2}{(x-1)(x+3)}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+3}=\frac{(a+b)x+(3a-b)}{(x-1)(x+3)}$

Par identification $\left\{\begin{array}{rcl}a+b&=&1\\ 3a-b&=&2\end{array}\right.$
$a=\frac{3}{4}$ et $b=\frac{1}{4}$

[Jean37]

Oui,mais j'ai trop tendance à persévérer dans mes erreurs,je dois changé ça.
Mais vu que t'as rien dis pur le b),c'est faux j'imagine ^^

[Job]

Pour le b) : 1 est un pôle d'ordre 3 et $x^2+1$ n'a pas de racine réelle donc dans $\mathbb R$, la décomposition sera de la forme :
$\frac{A}{(x-1)^3}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{x-1}+\frac{Dx+E}{x^2+1}$

Il y a plusieurs méthodes pour faire les calculs. Avec ce pôle d'ordre 3, la méthode la plus rapide est de faire une division suivant les puissances croissantes. As-tu vu cette méthode ? (Ce n'est pas celle utilisée dans tes exercices précédents)
Sinon, quelle méthode as-tu vue ? (Prendre 5 valeurs différentes de $x$ pour avoir un système est un peu pénible.

[Jean37]

En fait mon prof m'a montré la méthode que tu viens d'utilisé,mais les puissance croissante ne m'évoque rien par contre.
Un système pénible pour mieux maîtriser ce cours?
Ok je le ferait .