Bonjour,
J'aimerai savoir si ce qui est fait est correct, et j'aimerai avoir de l'aide sur certains points :
1.
a) On a f '(x) = 2 - (1/5)x
f est croissante sur [0; 10] avec f ([0; 10]) = [0; 10]
f est décroissante sur [10; 20] avec f ([10; 20]) = [0; 10]
b) Sur [0; 10] f est continue strictement croissante donc f réalise une bijection de [0; 10] sur [0; 10], par conséquence quelque x soit appartenant à [0; 10] f(x) appartient à [0; 10].
2. On pose Un+1 = f(Un) avec f(x) = 2x - (1/10) x²
Pn : 0 <= Un <= Un+1 <= 10
Initialisation :
Pour n = 0 : sans s'attarder, vrai.
Hérédité :
On sait que quelque soit x appartenant à [0; 10] f(x) appartient à [0; 10] de plus f est continue et strictement croissante sur cet intervalle donc Pn+1 est vraie.
Conclusion :
Pn est vraie quelque soit n appartenant à N.
3.
Un est croissante et majorée par 10 donc elle est convergente. Si on pose l sa limite, l vérifie l'équation :
l = (1/10)l. (20-l) <=> l = 10
4.
Non il ne pourra pas, car en 2015 on aura atteint le maximum de téléviseurs au nombre de 10 M.
Voilà et merci de votre future aide.
Exercice 1 : Suite
Re: Exercice 1 : Suite
Bonsoir
L'hérédité n'est pas suffisamment justifiée.
On suppose vérifié : $0\leq u_n\leq u_{n+1} \leq 10$
Puisque $f$ est croissante sur [0 , 10], elle conserve l'ordre donc : $f(0)\leq f(u_n)\leq f(u_{n+1})\leq f(10)$
soit $0\leq u_{n+1}\leq u_{n+2} \leq 10$
$P_{n+1}$ est donc vérifié.
L'hérédité n'est pas suffisamment justifiée.
On suppose vérifié : $0\leq u_n\leq u_{n+1} \leq 10$
Puisque $f$ est croissante sur [0 , 10], elle conserve l'ordre donc : $f(0)\leq f(u_n)\leq f(u_{n+1})\leq f(10)$
soit $0\leq u_{n+1}\leq u_{n+2} \leq 10$
$P_{n+1}$ est donc vérifié.
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Re: Exercice 1 : Suite
Ah oui.. C'était incomplet, j'ai complétement oublié de faire intervenir f.. Merci Job pour votre vigilance.