Salut,j'ai essayé de faire cet exercice:
Soit la suite u définie par : un+1 = (1 + un²)/2un
et u0 > 0 donné, et soit la fonction réelle f(.) définie par :f(x) = (1 + x²)/2x
.1)Déterminer l’ensemble de définition et de continuité de la fonction f(.).
2) Démontrer que pour tout n ∈ N , un > 0.
3) Démontrer que pour tout n ∈ N∗, un ≥ 1 et en déduire que la suite u est convergente.
4°) Calculer la limite de la suite u .
Réponse:
L'ensemble de définition,c'est R privé de 0, R\{0},et cette fonction est discontinu pour 0
2)ça revient à montrer que la suite est croissante,donc il faut montrer que Un+1-Un>=0; nous savons que un+1 = (1 + un²)/2un mais je n'ai pas Un.
3)Il faut montrer que Un+1/un>=1 mais j'ai pas Un.
4) La fonction f(x) et la suite u sont des fonction homologue,donc la limite de u,c'est celle de f(x).
Donc la limite de u en l'infini c'est la limite de f(x)=+l'infini.
Suite ,continuité.
Re: Suite ,continuité.
1) D'accord
2) On fait une récurrence.
Initialisation : Par hypothèse : $u_0>0$
Hérédité : On suppose vérifié, au rang $n$, $u_n>0$ alors $\frac{1+u_n^2}{2u_n}>0 $ soit $u_{n+1}>0$. La propriété est donc vérifie au rang $(n+1)$
Conclusion : par récurrence $\forall n \in {\mathbb n},u_n>0$
3) $u_{n+1} -1 =\frac{1+u_n^2}{2u_n}-1=\frac{1+u_n^2-2u_n}{2u_n}=\frac{(1-u_n)^2}{2u_n}\geq 0 $ car $u_n>0$
Donc $u_{n+1}\geq 1$ et par conséquent, à partir du rang 1, tous les termes de la suite sont supérieurs ou égaux à 1.
$u_{n+1}-u_n=\frac{1+u_n^2}{2u_n}-u_n =\frac{1+u_n^2-2u_n^2}{2u_n}=\frac{1-u_n^2}{2u_n}\leq 0$ à partir du rang 1 car $u_n\geq 1$
Donc $u_{n+1} \leq u_n$ . La suite est donc décroissante à partir du rang 1.
La suite est décroissante, minorée par 1 donc elle converge.
4) $f$ est une fonction continue sur $]0,+\infty[$ donc la limite de la suite est solution de l'équation $f(x)=x$
$\frac{1+x^2}{2x} = x$
$1+x^2=2x^2$
$x^2=1$ donc $x=1$ sur $]0, +\infty[$. La suite converge vers 1.
2) On fait une récurrence.
Initialisation : Par hypothèse : $u_0>0$
Hérédité : On suppose vérifié, au rang $n$, $u_n>0$ alors $\frac{1+u_n^2}{2u_n}>0 $ soit $u_{n+1}>0$. La propriété est donc vérifie au rang $(n+1)$
Conclusion : par récurrence $\forall n \in {\mathbb n},u_n>0$
3) $u_{n+1} -1 =\frac{1+u_n^2}{2u_n}-1=\frac{1+u_n^2-2u_n}{2u_n}=\frac{(1-u_n)^2}{2u_n}\geq 0 $ car $u_n>0$
Donc $u_{n+1}\geq 1$ et par conséquent, à partir du rang 1, tous les termes de la suite sont supérieurs ou égaux à 1.
$u_{n+1}-u_n=\frac{1+u_n^2}{2u_n}-u_n =\frac{1+u_n^2-2u_n^2}{2u_n}=\frac{1-u_n^2}{2u_n}\leq 0$ à partir du rang 1 car $u_n\geq 1$
Donc $u_{n+1} \leq u_n$ . La suite est donc décroissante à partir du rang 1.
La suite est décroissante, minorée par 1 donc elle converge.
4) $f$ est une fonction continue sur $]0,+\infty[$ donc la limite de la suite est solution de l'équation $f(x)=x$
$\frac{1+x^2}{2x} = x$
$1+x^2=2x^2$
$x^2=1$ donc $x=1$ sur $]0, +\infty[$. La suite converge vers 1.
