Intégrale paramétrique

[Jon83]

Bonjour à tous, et bonne année 2023 ...
J'attaque l'année sur cette intégrale paramétrique dont les limites semblent me poser des difficultés :

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J'ai effectué une intégration par partie pour trouver cette intégrale , mais comme la primitive de e^(-pt) est ((-1/p) e^(-pt) , il faut donc que p soit différent de 0 ?
Je trouve f(x)=(1-e^(-pt)(pt+1))/p² avec p différent de 0.
Pour la limite, il y aurait donc 2 cas:
p>0 et lim f(+infini)=1/p² ??
p<0 et lim f(+infini)=+ infini ??

[Job]

Bonjour

Il faut envisager tous les cas et je comprend mal ta réponse car c'est une fonction de la variable $x$

1) Si $p=0$, $f(x)=\frac{1}{2} x^2$.

2) Si $p\neq 0$, Faire une intégration par parties est la bonne méthode.

$\displaystyle f(x)=[-\frac{1}{p}te^{-pt}]_0^x+\frac{1}{p}\int_0^xe^{-pt}dt$

$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{p}xe^{-px}+\frac{1}{p}[-\frac{1}{p}e^{-pt}]_0^x$

$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{p}xe^{-px}-\frac{1}{p^2}e^{-px}+\frac{1}{p^2}$

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{p^2}[1-e^{-px}(1+px)]$