Bonjour, pouvez vous m'aider pour cet exercice.
Merci d'avance
A, B et C sont trois points tels que AB = 5, AC = 8.
1) Est-il possible d’avoir $\overrightarrow{AB}$.$\overrightarrow{AC}$=60.
On prend maintenant $\overrightarrow{AB}$.$\overrightarrow{AC}$=20
2) Quelle est la valeur de l'angle B ̂A C?
3) Calculer BC.
4) Calculer les produits scalaires $\overrightarrow{BA}$.$\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{CA}$.$\overrightarrow{CB}$
5) Quelle est l’aire du triangle ABC ?
6) G est le centre de gravité de ABC. Calculer AG.
produit scalaire
Re: produit scalaire
Bonjour
1) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\times AC\times \cos \widehat{BAC}=40\cos\widehat{BAC}$
Un cosinus appartenant à [-1 , 1] il est impossible que le produit scalaire soit égal à 80.
2) $\cos \widehat{BAC}=\frac{20}{40}=\frac{1}{2}$ donc $\widehat{BAC}=\frac{\pi}{3}$
3) $BC^2=\overrightarrow{BC}^2=(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})^2=BA^2+BC^2+2\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AC}=BA^2+AC^2-2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=25+64-40=49$
Donc $BC=7$
4) $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}\cdot (\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{BA}^2+\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AC}=25+(-20)=5$
$\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}\cdot (\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{CA}^2+\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}=64+(-20)=44$
5) Aire$(ABC)=\frac{1}{2} AB\times AC\times \sin \widehat{BAC}=\frac{1}{2} \times 5\times 8\times \frac{\sqrt 3}{2}=10\sqrt 3$
6) Soit $M$ le milieu de $[AB]$
$AB^2+AC^2=2AM^2+\frac{BC^2}{2}$ soit $25+64=2AM^2 +\frac{49}{2}$
$AM^2=\frac{129}{4}$ donc $AM=\frac{\sqrt{129}}{2}$
$AG=\frac{2}{3} AM=\frac{\sqrt{129}}{3}$
1) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\times AC\times \cos \widehat{BAC}=40\cos\widehat{BAC}$
Un cosinus appartenant à [-1 , 1] il est impossible que le produit scalaire soit égal à 80.
2) $\cos \widehat{BAC}=\frac{20}{40}=\frac{1}{2}$ donc $\widehat{BAC}=\frac{\pi}{3}$
3) $BC^2=\overrightarrow{BC}^2=(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})^2=BA^2+BC^2+2\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AC}=BA^2+AC^2-2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=25+64-40=49$
Donc $BC=7$
4) $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}\cdot (\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{BA}^2+\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AC}=25+(-20)=5$
$\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}\cdot (\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{CA}^2+\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}=64+(-20)=44$
5) Aire$(ABC)=\frac{1}{2} AB\times AC\times \sin \widehat{BAC}=\frac{1}{2} \times 5\times 8\times \frac{\sqrt 3}{2}=10\sqrt 3$
6) Soit $M$ le milieu de $[AB]$
$AB^2+AC^2=2AM^2+\frac{BC^2}{2}$ soit $25+64=2AM^2 +\frac{49}{2}$
$AM^2=\frac{129}{4}$ donc $AM=\frac{\sqrt{129}}{2}$
$AG=\frac{2}{3} AM=\frac{\sqrt{129}}{3}$