Bonjour
Exercice 1
1. a) $x^2+2x=(x+1)^2-1$ et $y^2-4y=(y-2)^2-4$
$(E)\ :\ (x+1)^2-1+(y-2)^2-4-3=0$ soit $(x+1)^2+(y-2)^2=8=(2\sqrt 2)^2$
Donc $(E)$ est l'équation du cercle de centre $K\ (-1,2)$ et de rayon $2\sqrt 2$
b) Les coordonnées de $A$ vérifient l'équation de $(E)$
Un point $M(x,y) $ appartient à la tangente en A au cercle si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AM}\ (x-1,y)$ et $\overrightarrow{KA}\ :\ (2,-2)$ sont orthogonaux donc si et seulement si leur produit scalaire et nul soit :
$2(x-1)-2y=0$ soit $2x-2y-2=0$ ou $x-y-1=0$
c) $K$ est le milieu de $[AB]$ : $-1=\frac{1+x_B}{2}$ et $2=\frac{0+y_B}{2}$ donc $B\ :\ (-3, 4)$
d) La parallèle à $(x'x)$ passant par $B$ a pour équation $y=4$ donc $y_I=4$ et en remplaçant dans l'équation de $T$, on obtient $x_I=y_I+1=5$
2. a) Distance de $K$ à $(D)$ : $\frac{-1-0+2}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{1}{\sqrt 2}=\frac{\sqrt 2}{2}$
La distance est inférieure au rayon du cercle donc la droite coupe le cercle.
b) On résout le système : $\left\{\begin{array}{rcl}x-y+2=0\\x^2+y^2+2x-4y-3=0\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{rcl}y=x+2\\x^2+(x+2)^2+2x-4(x+2)-3=0\end{array}\right.$
L'équation en $x$ est $2x^2+2x-7=0$
$\Delta=2^2-4\times 2 \times (-7)=60=(2\sqrt{15})^2$
$x_1=\frac{-2-2\sqrt {15}}{4}=\frac{-1-\sqrt{15}}{2}$ dpnc $y_1=x_1+2=\frac{3-\sqrt{15}}{2}$
$x_2=\frac{-2+2\sqrt {15}}{4}=\frac{-1+\sqrt{15}}{2}$ dpnc $y_1=x_1+2=\frac{3+\sqrt{15}}{2}$
scalaire et fonction
Re: scalaire et fonction
Exercice 2
1.a) $(u-v)(u^2+v^2+uv-1)=u^3+uv^2+u^2v-u-vu^2-v^3-uv^2+v=u^3-u-(v^3-v)=u^3-u+2-(v^3-v+2)=f(u)-f(v)$
b) $u^2+v^2+uv-1-(3u^2-1)=v^2+uv-2u^2=v^2-u^2+u(v-u)>0$ car $0<u<v$ donc $3u^2-1<u^2+v^2+uv-1$
$(3v^2-1)-(u^2+v^2+uv-1)=2v^2-u^2-uv=v^2-u^2+v(v-u)>0$ donc $3v^2-1>u^2+v^2+uv-1$
c) $\frac{f(u)-f(v)}{u-v}=u^2+v^2+uv-1$ donc en utilisant la question b) on obtient le résultat demandé.
2. $3x^2-1>0\Longleftrightarrow x^2>\frac{1}{3}\Longleftrightarrow x>\frac{1}{\sqrt 3}$ car $x>0$
Sur $[0,\frac{1}{\sqrt 3}[,\ 3v^2-1<0$ donc $\frac{f(u)-f(v)}{u-v}<0$
Si $u<v$, $u-v<0$ donc $f(u)-f(v)>0$ soit $f(u)>f(v)$ et $f$ est donc décroissante.
Sur $]\frac{1}{\sqrt 3},+\infty[,\ 3u^2-1>0$ donc $\frac{f(u)-f(v)}{u-v}>0$
Si $u<v$, $u-v<0$ donc $f(u)-f(v)<0$ soit $f(u)<f(v)$ et $f$ est donc croissante.
1.a) $(u-v)(u^2+v^2+uv-1)=u^3+uv^2+u^2v-u-vu^2-v^3-uv^2+v=u^3-u-(v^3-v)=u^3-u+2-(v^3-v+2)=f(u)-f(v)$
b) $u^2+v^2+uv-1-(3u^2-1)=v^2+uv-2u^2=v^2-u^2+u(v-u)>0$ car $0<u<v$ donc $3u^2-1<u^2+v^2+uv-1$
$(3v^2-1)-(u^2+v^2+uv-1)=2v^2-u^2-uv=v^2-u^2+v(v-u)>0$ donc $3v^2-1>u^2+v^2+uv-1$
c) $\frac{f(u)-f(v)}{u-v}=u^2+v^2+uv-1$ donc en utilisant la question b) on obtient le résultat demandé.
2. $3x^2-1>0\Longleftrightarrow x^2>\frac{1}{3}\Longleftrightarrow x>\frac{1}{\sqrt 3}$ car $x>0$
Sur $[0,\frac{1}{\sqrt 3}[,\ 3v^2-1<0$ donc $\frac{f(u)-f(v)}{u-v}<0$
Si $u<v$, $u-v<0$ donc $f(u)-f(v)>0$ soit $f(u)>f(v)$ et $f$ est donc décroissante.
Sur $]\frac{1}{\sqrt 3},+\infty[,\ 3u^2-1>0$ donc $\frac{f(u)-f(v)}{u-v}>0$
Si $u<v$, $u-v<0$ donc $f(u)-f(v)<0$ soit $f(u)<f(v)$ et $f$ est donc croissante.
Re: scalaire et fonction
MERCI BEAUCOUP