Géométrie

[youcef-ait]

Bonjour,

Je n'arrive pas du tout à démontrer ceci pour un élève, pouvez-vous m'éclaircir svp ?
Voici la feuille d'exercice :
Et c'est l'exercice 3, avec l'égalité des angles et des rapports, je pense avoir la piste de la trigonométrie, mais j'ai franchement du mal...

Merci à vous.

[Job]

Bonjour

1) a) Dans le triangle rectangle $BAH$, on a en degré $\widehat{BAH}=90 -\widehat{ABC}$.
Dans le triangle rectangle $ABC$, on a $\widehat{ACH}=90 - \widehat{ABC}$.
On en déduit que $\widehat{BAH}=\widehat{ACH}$.
b) Si l'élève a vu la notion de tangente dans un triangle rectangle, c'est le plus simple : les tangentes des 2 angles précédents sont égales et on a le résultat.
Sinon de l'égalité précédente on peut déduire que les triangles rectangles $BAH$ et $ACH$ sont semblables et donc $\frac{HB}{AH}=\frac{AH}{HC}$.
On multiplie chacun des rapports précédents par le produit $AH\times HC$ et après simplification on a $HB\times HC = AH^2$.

2) a) $AH^2=a \times b$ donc $AH=\sqrt{ab}$.
b) $\sqrt{21}=\sqrt{3\times 7}$ donc on prend $a=3$ et $b=7$.
On construit donc un segment $[BC]$ contenant le point $H$ tel que $BH=3$ et $HC=7$.
Le point A tel que le triangle $ABC$ soit rectangle en $A$ est un point d'intersection de la perpendiculaire en $H$ à $[BC]$ et du cercle de diamère $[BC]$.
$[AH]$ a alors pour longueur $\sqrt{21}$.

[youcef-ait]

Merci pour votre aide , je vais transférer directement cette page-là à l'élève concerné.