Bonsoir, j'aimerais de l'aide pour la question 2°/
1°/ Soit a et b deux réels strictement positifs. Montrer que $\frac{2ab}{a+b}$ ≤ $\sqrt{ab}$ ≤ $\frac{a+b}{2}$
2°/ On suppose maintenant que 0 < a ≤ b. Montrer que: $\frac{(b-a)^{2}}{8b}$ ≤ $\frac{a+b}{2}$ - $\sqrt{ab}$ ≤ $\frac{(b-a)^{2}}{8a}$
Indication: on pourra montrer que : $\frac{1}{8b}$ ≤ $\frac{1}{2(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}}$ ≤ $\frac{1}{8a}$.
calcul dans IR
Re: calcul dans IR
Bonjour
$\frac{1}{8a} -\frac{1}{2(\sqrt a +\sqrt b)^2}=\frac{(\sqrt a +\sqrt b)^2-4a}{8a(\sqrt a+\sqrt b)^2}$
Le dénominateur est strictement positif. On factorise le numérateur :
$N=(\sqrt a +\sqrt b -2\sqrt a)(\sqrt a +\sqrt b +2\sqrt a)=(\sqrt b -\sqrt a)(3\sqrt a +\sqrt b)$
Comme $a\leq b$ les 2 facteurs sont positifs. On en déduit : $\frac{1}{8a} -\frac{1}{2(\sqrt a +\sqrt b)^2}\geq 0$ soit $\frac{1}{2 (\sqrt a +\sqrt b)^2} \leq \frac{1}{8a}$
La deuxième partie de la double inégalité se démontre en utilisant la même technique de calcul.
On multiplie chaque terme de la double inégalité démontrée précédemment par $(b-a)^2\geq 0$
$\frac{(b-a)^2}{8b} \leq \frac{(b-a)^2}{2(\sqrt a +\sqrt b)^2} \leq \frac{(b-a)^2}{8a}$
Il reste à transformer le terme du milieu :
$\frac{(b-a)^2}{2(\sqrt a +\sqrt b)^2}=\frac{[(\sqrt b -\sqrt a)(\sqrt b +\sqrt a)]^2}{2(\sqrt a +\sqrt b)^2}=\frac{(\sqrt b -\sqrt a)^2}{2}=\frac{b+a-2\sqrt {ab}}{2} =\frac{b+a}{2} -\sqrt{ab}$
$\frac{1}{8a} -\frac{1}{2(\sqrt a +\sqrt b)^2}=\frac{(\sqrt a +\sqrt b)^2-4a}{8a(\sqrt a+\sqrt b)^2}$
Le dénominateur est strictement positif. On factorise le numérateur :
$N=(\sqrt a +\sqrt b -2\sqrt a)(\sqrt a +\sqrt b +2\sqrt a)=(\sqrt b -\sqrt a)(3\sqrt a +\sqrt b)$
Comme $a\leq b$ les 2 facteurs sont positifs. On en déduit : $\frac{1}{8a} -\frac{1}{2(\sqrt a +\sqrt b)^2}\geq 0$ soit $\frac{1}{2 (\sqrt a +\sqrt b)^2} \leq \frac{1}{8a}$
La deuxième partie de la double inégalité se démontre en utilisant la même technique de calcul.
On multiplie chaque terme de la double inégalité démontrée précédemment par $(b-a)^2\geq 0$
$\frac{(b-a)^2}{8b} \leq \frac{(b-a)^2}{2(\sqrt a +\sqrt b)^2} \leq \frac{(b-a)^2}{8a}$
Il reste à transformer le terme du milieu :
$\frac{(b-a)^2}{2(\sqrt a +\sqrt b)^2}=\frac{[(\sqrt b -\sqrt a)(\sqrt b +\sqrt a)]^2}{2(\sqrt a +\sqrt b)^2}=\frac{(\sqrt b -\sqrt a)^2}{2}=\frac{b+a-2\sqrt {ab}}{2} =\frac{b+a}{2} -\sqrt{ab}$