repérage

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syne1
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repérage

Message par syne1 » 10 mars 2022, 13:32

Bonjour job, je voudrais de l'aide pour cet exercice. MERCI d'avance.

Soit $ABCD$ un parallélogramme non aplati.
On pose $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\vec{v}=\overrightarrow{AC}$
1) Les vecteurs $\vec{u}+\vec{v}$ et $\vec{u}-\vec{v}$ sont-ils colinéaires ?
2) On pose $\vec{i}=\vec{u}+\vec{v}$ et $\vec{j}=\vec{u}-\vec{v}$
Donner les coordonnées de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ dans la base $(\vec{i}\;,\ \vec{j})$.
3) Donner les coordonnées de A, B, C et D dans le repère $(B\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$.
4) Existe-t-il des points qui ont les mêmes coordonnées relativement aux repères $(A\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v})$ et $(B\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).\ ?$

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Job
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Re: repérage

Message par Job » 10 mars 2022, 17:54

Bonjour syne1

1) Il existe un réel $k$ tel que $\vec u +\vec v = k(\vec u -\vec v)=k\vec u +(-k)\vec v$ si on a à la fois $k=1$ et $k=-1$ ce qui est impossible donc les vecteurs ne sont pas colinéaires.

2) $\vec i +\vec j = 2\vec u$ donc $\vec u= \frac{1}{2} \vec i +\frac{1}{2} \vec j$
$\vec i -\vec j = 2\vec v$ donc $\vec v= \frac{1}{2} \vec i -\frac{1}{2} \vec j$

Coordonnées de $\vec u\ : (\frac{1}{2} , \frac{1}{2})$
Coordonnées de $\vec v\ : (\frac{1}{2} , -\frac{1}{2})$

3) $\overrightarrow{BA} = \vec u : (-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$

$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=-\vec u +\vec v=-\vec j\ :\ (0,-1)$

$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC} +\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{BA} +\overrightarrow{AC}=-2\vec u +\vec v$
Coordonnées de D : $-2(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})+(\frac{1}{2} , -\frac{1}{2})=(-\frac{1}{2} , -\frac{3}{2})$

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