Bonjour, voici un exercice qui me pose problème. Qu'en pensez vous. Merci d'avance
Soit ABC un triangle et I est un point de (AB).
1°/ La parallèle à (BC) passant par I coupe (AC) en J
La parallèle à (AB) passant par J coupe (BC) en K
La parallèle à (AC) passant par K coupe (AB) en L
Démontrer que L=I si et seulement si I est le milieu de [AB]
2°/ La parallèle à (BC) passant par L coupe (AC) en M
La parallèle à (AB) passant par M coupe (BC) en N
Démontrer que les droites (IN) et (AC) sont parallèles.
vecteur
Re: vecteur
Bonjour
Tout l'exercice est une application du théorème de Thalès et de sa réciproque.
1°/ En utilisant les parallélismes successif dans l'ordre où ils se présentent, on obtient une suite d'égalités :
$\frac{\overline{BI}}{\overline{BA}}=\frac{\overline{CJ}}{\overline{CA}}=\frac{\overline{CK}}{\overline{CB}}=\frac{\overline{AL}}{\overline{AB}}$ (I)
En considérant l'égalité : $\frac{\overline{BI}}{\overline{BA}}=\frac{\overline{AL}}{\overline{AB}}$, $L=I$ si et seulement si $\frac{\overline{BI}}{\overline{BA}}=\frac{\overline{AI}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{IA}}{\overline{BA}}$
Donc $L=I$ si et seulement si $\overline{BI}=\overline{IA}$ donc si et seulement si $I$ est le le milieu de $[AB]$
2°/ De même que dans la première question, on a une nouvelle chaîne d'égalités : $\frac{\overline{AL}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{AM}}{\overline{AC}}=\frac{\overline{BN}}{\overline{BC}}$
De cette égalité et de l'égalité (I), on déduit : $\frac{\overline{AL}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{BN}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{BI}}{\overline{BA}}$
De $\frac{\overline{BN}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{BI}}{\overline{BA}}$,on déduit par la réciproque du théorème de Thalès que les droites $(IN)$ et $(CA)$ sont parallèles.
Dans une rédaction, il faut peut-être préciser, pour chaque égalité, les parallèles et les sécantes utilisées.
Tout l'exercice est une application du théorème de Thalès et de sa réciproque.
1°/ En utilisant les parallélismes successif dans l'ordre où ils se présentent, on obtient une suite d'égalités :
$\frac{\overline{BI}}{\overline{BA}}=\frac{\overline{CJ}}{\overline{CA}}=\frac{\overline{CK}}{\overline{CB}}=\frac{\overline{AL}}{\overline{AB}}$ (I)
En considérant l'égalité : $\frac{\overline{BI}}{\overline{BA}}=\frac{\overline{AL}}{\overline{AB}}$, $L=I$ si et seulement si $\frac{\overline{BI}}{\overline{BA}}=\frac{\overline{AI}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{IA}}{\overline{BA}}$
Donc $L=I$ si et seulement si $\overline{BI}=\overline{IA}$ donc si et seulement si $I$ est le le milieu de $[AB]$
2°/ De même que dans la première question, on a une nouvelle chaîne d'égalités : $\frac{\overline{AL}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{AM}}{\overline{AC}}=\frac{\overline{BN}}{\overline{BC}}$
De cette égalité et de l'égalité (I), on déduit : $\frac{\overline{AL}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{BN}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{BI}}{\overline{BA}}$
De $\frac{\overline{BN}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{BI}}{\overline{BA}}$,on déduit par la réciproque du théorème de Thalès que les droites $(IN)$ et $(CA)$ sont parallèles.
Dans une rédaction, il faut peut-être préciser, pour chaque égalité, les parallèles et les sécantes utilisées.