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Aide au niveau seconde.
syne1
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sytèmes

Message par syne1 » 07 mai 2017, 15:28

Bonjour, pouvez-vous m'aider pour ces exercices

EXERCICE 1
Donner une interprétation pour chaque solution du système :

$ a) S={(2;5) }$
$b) S=∅$
$c) S=IR^{2}$

EXERCICE 2
En utilisant la méthode de CRAMER, discuter suivant les valeurs de m les solutions des systèmes suivants:

$a)\left\{\begin{array}{rcl}2x&+&my&=&2\\-x&+&3y&=&-1\end{array}\right.$

$b)\left\{\begin{array}{rcl}2mx&+&4y&=&2m\\(2m-3)x&+&(m-1)y&=&1\end{array}\right.$

$c)\left\{\begin{array}{rcl}2x&-&y&=&m\\2mx&+&2y&=&1\end{array}\right.$

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Re: sytèmes

Message par Job » 08 mai 2017, 14:52

Bonjour

Exercice 1

a) le système admet une solution unique.

b) Le système n'a pas de solution.

c) Tout couple de réels est solution du système.

Exercice 2
a) On calcule le déterminant $\Delta =\begin{vmatrix}2&m\\-1&3\end{vmatrix}=6-(-m)=6+m$
* Si $m\neq -6,\ \Delta\neq 0$ donc le système admet une solution unique :
$x=\frac{\begin{vmatrix}2&m\\-1&3\end{vmatrix}}{6+m}=\frac{6+m}{6+m}=1$ ; $y=\frac{\begin{vmatrix}2&2\\-1&-1\end{vmatrix}}{6+m}=\frac{0}{6+m}=0$ donc $S=\{(1,0)\}$

* Si $m=-6$ , le système s'écrit $\left \{ \begin{array}{rcl}2x&-&6y=2\\-x&+&3y=-1\end{array}\right.$
Les 2 équations sont équivalentes à $x=3y+1$ donc $S=\{(3\lambda, \lambda)\ ,\ \lambda \in {\mathbb R}\}$

b) $\Delta =\begin{vmatrix}2m&4\\2m-3&m-1\end{vmatrix}=2m(m-1)-(2m-3)(4)=2m^2-2m-8m+12=2m^2-10m+12$
Le trinôme $2m^2-10m+12$ admet 2 racines : 2 et 3.

* Si $m\neq 2$ et $m\neq 3$ , le système admet une solution unique :
$x=\frac{\begin{vmatrix}2m&4\\1&m-1\end{vmatrix}}{2(m^2-5m+6)}=\frac{2m(m-1)-4}{2(m^2-5m+6)}=\frac{2(m^2-m-2)}{2(m^2-5m+6)}=\frac{m^2-m-2}{m^2-5m+6}=\frac{(m+1)(m-2)}{(m-3)(m-2)}=\frac{m+1}{m-3}$

$y=\frac{\begin{vmatrix}2m&2m\\2m-3&1\end{vmatrix}}{2(m^2-5m+6)}=\frac{2m-2m(2m-3)}{2(m^2-5m+6)}=\frac{2m(1-2m+3)}{2(m^2-5m+6)}=\frac{-4m(m-2)}{2(m-3)(m-2)}=\frac{-2m}{m-3}$
$S=\{(\frac{m+1}{m-3}, \frac{-2m}{m-3})\ ,\ m\notin\{2,3\}\}$

* Si $m=2$, le système s'écrit $\left\{\begin{array}{rcl}4x&+&4y&=&4\\x&+&y&=&1\end{array}\right.$
$S=\{(\lambda, 1-\lambda)\ ,\ \lambda \in {\mathbb R}\}$

* Si $m=3$, le système s'écrit $\left\{\begin{array}{rcl}6x&+&4y&=&6\\3x&+&2y&=&1\end{array}\right.$
La première équation équivaut à $3x+2y=3$, les 2 équations sont incompatibles et le système n'a pas de solution.

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Re: sytèmes

Message par Job » 08 mai 2017, 15:06

c) $\Delta =\begin{vmatrix}2&-1\\2m&2\end{vmatrix}=4+2m=2(m+2)$
* Si $m\neq -2$, le système a une solution unique :
$x=\frac{\begin{vmatrix}m&-1\\1&2\end{vmatrix}}{2(m+2)}=\frac{2m+1}{2(m+2)}$ ; $y=\frac{\begin{vmatrix}2&m\\2m&1\end{vmatrix}}{2(m+2)}=\frac{2-2m^2}{2(m+2)}=\frac{1-m^2}{m+2}$

$S=\{(\frac{2m+1}{2(m+2)},\frac{1-m^2}{m+2})\ ,\ m\neq -2\}$

* Si $m=-2$, le système s'écrit $\left\{\begin{array}{rcl}2x&-&y&=&-2\\-4x&+&2y&=&1\end{array}\right.$
En simplifiant la seconde équation par (-2), on obtient : $2x-y=-\frac{1}{2}$.
Les 2 équations sont donc incompatibles, le système n'a pas de solution.

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