système

[syne1]

Bonjour, je voudrais avoir la résolution de cet exercice.

1) Résoudre dans $IR^{2}$ le système
$\left\{
\begin{array}{r c l}
x^{2}+y^{2}=5 \\
xy &=& 2\\
\end{array}
\right.$

2) En déduire les solutions du système :
$\left\{
\begin{array}{r c l}
(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=5 \\
(x-1) (y-1) &=& 2\\
\end{array}
\right.$

[Job]

Bonjour

1) La deuxième équation montre que $x=0$ ou $y=0$ ne sont pas solution donc on peut poser $y=\frac{1}{x}$.
En remplaçant dans la première équation : $x^2+\frac{1}{x^2}=5$ soit $x^4+1-5x^2=0$ (en réduisant au dénominateur $x^2\neq 0$)
On pose $X=x^2$ donc $X^2-5X+1=0$
On résout cette équation : $\Delta =25-4=21\ ,\ X_1=\frac{5-\sqrt{21}}{2}\ ,\ X_2=\frac{5+\sqrt{21}}{2}$
Donc 4 valeurs possibles pour $x$ : $-\sqrt{\frac{5-\sqrt{21}}{2}}\ ,\ +\sqrt {\frac{5-\sqrt{21}}{2}}\ ,\ -\sqrt{\frac{5+\sqrt{21}}{2}}\ ,\ +\sqrt{\frac{5+\sqrt{21}}{2}}$

On en déduit les valeurs correspondants de $y$

2) Il suffit de rajouter 1 aux valeurs obtenues dans la première question.

[syne1]

Bonsoir;
Est ce que y a pas erreur parce que $xy=2$ donc si vous posez $y=\frac{1}{x}$ alors $xy$ devient $1$

[Job]

Bonjour

Désolé pour l'erreur. Je corrige (la méthode ne change pas)

$y=\frac{2}{x}$ donc $x^2+\frac{4}{x^2}=5$ soit $x^4-5x^2+4=0$

Avec $X=x^2$, on a $X^2-5X+4=0$
$\Delta = 25-16=9$ , $X_1=\frac{5-3}{2}=1\ ,\ X_2=\frac{5+3}{2}=4$

Les solutions pour $x$ sont donc : (-1) , 1 , (-2) , 2.
En calculant les valeurs correspondantes de $y$, les couples solutions sont : (-1,-2) , (1,2) , (-2,-1) , (2,1)