Préciser la position de la courbe par rapport à la la droite

[yann]

Bonjour Job

On considère la fonction f définie par $f(x) = \frac{3x - 1}{2x + 4}$

1 ) Quel est l'ensemble de définition de la fonction f ?
f est définie par $ \frac{3x - 1} { 2x + 4}$ donc f est définie à condition que le dénominateur ne soit pas nul , que 2 x + 4 ne soit pas nul $2x + 4 = 0\Leftrightarrow 2x = - 4 \Leftrightarrow x = \frac{-4}{2} = -2$
2 ) Donner les images par f de 0 ;1 ; -3
l'image par f de 1 est $f(1) = \frac{3 *1 - 1}{2*1 + 4} = \frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ donc $f(1) = \frac{1}{3}$

l'image par f de -3 est $f(-3) = \frac{3*(-3) - 1}{2*(-3) + 4} = \frac{-10}{-2} = 5$

l'image par f de 0 est $f(0) = \frac{3*(0) - 1}{2*(0) + 4} = \frac{-1}{4}$ donc $f(0) = \frac{-1}{4}$

3 ) les nombres 1 ; 0 et $\frac{3}{2}$ ont-ils des antécédents par f ? si oui ,
je cherche les réels x tel que $f(x) = 1$
$f(x) = 1 \Leftrightarrow \frac{3x - 1}{2x + 4} = 1 \Leftrightarrow 3x - 1 = 2x + 4 \Leftrightarrow x = 5$
1 a un antécédent UNIQUE par f
$f(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{3x - 1}{2x + 4} = 0 \Leftrightarrow 3x - 1 = 0 (2x + 4) \Leftrightarrow 3x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}$
0 a un antécédent unique par f
je cherche les réels x tel que $f(x) =\frac{3}{2}$
$f(x) = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{3x - 1}{2x + 4} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow 3 (2x + 4) = 2 ( 3x - 1 ) \Rightarrow 6x + 12 = 6x - 2 \Leftrightarrow 0x = -14$
l'équation 0x = -14 n'a pas de solutions

4) a) Justifier que pour tout $x \in E $ , on a $f(x) = \frac{3}{2} - \frac{7}{2x + 4}$
b ) Préciser la position de la courbe $f$ par rapport à la droite d'équation $y = \frac{3}{2}$
Pouvez - vous me donner quelques pistes pour ces 2 dernières questions ( sans me donner la réponse tout de suite ) je voudrais trouver par moi même

[yann]

Screen Shot 2017-02-27 at 17.05.47.png (40.12 Kio) Consulté 6722 fois

si [ 2 ; + inf[
la courbe est au dessus de la droite d'équation

si ] - inf ; 2]
la courbe est en dessous de la droite d'équation y = 3/2

[Job]

Bonsoir

Question 4. a) : Il faut partir de l'expression $\frac{3}{2}-\frac{7}{2x+4}$, réduire au même dénominateur et on doit arriver à l'expression donnée de $f(x)$

Question 4. b) Il s'agit de résoudre les inéquations $f(x)>\frac{3}{2}$ et $f(x)<\frac{3}{2}$ en utilisant pour $f(x)$ l'expression obtenue à la question 4. a)

Interprétation graphique : les intervalles à considérer sont les intervalles $]-\infty, -2[$ et $]-2,+\infty[$

[yann]

Bonsoir Job

question 2 ) a ) Justifier pour tout $x \in E $ , on a $f(x) = \frac{3}{2}- \frac{7}{2x + 4}$

Pour démontrer l'égalité , je pars du coté droit et je réduis au meme dénominateur

il faut partir de $\frac{3}{2} - \frac{-7} { 2x + 4} =\frac{3 (x + 2)}{2 ( x + 2)} - \frac{7}{ 2x + 4} = \frac{3x + 6}{2x + 4} -\frac{7}{2x + 4} = \frac{3x - 1}{2x + 4}$

je retrouve bien $\frac{3x - 1}{2x + 4}$ mais je ne vois pas à quoi coorrespond $-\frac{ 7}{2x + 4}$

question 2) b)
résoudre l'inéquation $f(x) > \frac{3}{2}$ avec $f(x) = \frac{3}{2} - \frac{7}{2x + 4}$

soit $\frac{3}{2} - \frac{7}{2x + 4} > \frac{3}{2}$

j'imagine que ça ne doit par être correct
mais surtout , ne pas me donner la réponse tout de suite , ce qui ne servirait à rien ,(il faut que je cherche !!)

à demain

[Job]

Bonjour Yann

Bonsoir Job

question 2 ) a ) Justifier pour tout $x \in E $ , on a $f(x) = \frac{3}{2}- \frac{7}{2x + 4}$

Pour démontrer l'égalité , je pars du coté droit et je réduis au meme dénominateur

il faut partir de $\frac{3}{2} - \frac{-7} { 2x + 4} =\frac{3 (x + 2)}{2 ( x + 2)} - \frac{7}{ 2x + 4} = \frac{3x + 6}{2x + 4} -\frac{7}{2x + 4} = \frac{3x - 1}{2x + 4}$

je retrouve bien $\frac{3x - 1}{2x + 4}$ mais je ne vois pas à quoi coorrespond $-\frac{ 7}{2x + 4}$

On a donc $f(x)-\frac{3}{2}=-\frac{7}{2x+4}$
Donc $-\frac{7}{2x+4}$ est la différence entre $f(x)$ et $\frac{3}{2}$. Graphiquement c'est ce qui sépare la courbe représentative de $f$ et la droite d'équation $y=\frac{3}{2}$.
Si la différence est positive c'est que la courbe est au-dessus de la droite, si elle est négative, c'est la droite qui est au-dessus de la courbe.

question 2) b)
résoudre l'inéquation $f(x) > \frac{3}{2}$ avec $f(x) = \frac{3}{2} - \frac{7}{2x + 4}$

soit $\frac{3}{2} - \frac{7}{2x + 4} > \frac{3}{2}$

j'imagine que ça ne doit par être correct
mais surtout , ne pas me donner la réponse tout de suite , ce qui ne servirait à rien ,(il faut que je cherche !!)

Il faut poursuivre : on doit donc avoir $-\frac{7}{2x+4}>0$

[yann]

Bonjour Job

il faut résoudre la première inéquation $f(x) > \frac{3}{2}$ en utilisant l'expression de la question 2) a)

j'ai ceci : $\frac{3}{2} - \frac{7}{2x + 4} > \frac{3}{2}$

je continue en ajoutant $-\frac{3}{2}$ du coté gauche et du coté droit de l'inéquation

ce qui donne :
$\frac{3}{2} - \frac{3}{2} - \frac{7}{2x + 4} > \frac{3}{2} - \frac{3}{2}$

$-\frac{7}{2x + 4} > 0 $

[Job]

Donc $\frac{7}{2x+4}<0$ et par conséquent $2x+4<0$

[yann]

à partir de $-\frac{7}{2x + 4} > 0$

j'ai le droit de dire $\frac{7}{2x + 4} < 0$

[Job]

Oui, si un nombre est positif, son opposé est négatif.

[yann]

et ensuite on dit que le dénominateur $2x + 4 $ est négatif ??