les nombres 2 , 1/2 et 0 ont ils des antécédents par f ??

[yann]

Bonsoir Job,

on considère la fonction $f$ définie par $f(x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$

1) Justifier que f est définie sur $\mathbb{R}$
2) déterminer par f les images de -3 , 0 ; $\frac{1}{2}$ ; 3
3) les nombres 2 ; 0 ; $\frac{1}{2}$ ont-ils des antécédents dans f ? si oui , déterminer ces antécédents

1 ) pour que f(x) existe , il faut que le dénominateur ne soit pas égale à 0
donc $ x^{2} + 1\neq 0$
puis $x^{2} + 1\neq 0\Leftrightarrow x^{2}\neq 1$

2) l'image par f de - 3 est $f(-3) = \frac{1}{(-3)^{2} + 1} = \frac{1}{10}$ donc $f(-3) = \frac{1}{10}$
l'image de 0 par f est $f(0) = \frac{1}{(0)^{2} + 1} = 1$ donc $f(0) = 1$

l'image par f de $\frac{1}{2} $ est$f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{(\frac{1}{2})^{2} + 1} = \frac{1}{ \frac{1}{4} + \frac{4}{4}} = \frac{1}{ \frac{5}{4}} = \frac{4}{5}$ donc $f(\frac{1}{2}) = \frac{4}{5}$

l'image par f de 3 est $f(3) = \frac{1}{(3)^{2} + 1} = \frac{1}{10}$ donc $f(3) = \frac{1}{10}$

3 ) le nombre 2 a t-il des antécédents ?
si 2 a UN antécédent alors $f(x) = \frac{1} { x^{2} + 1} = 2\Leftrightarrow 1 = ???$

le nombre 0 a t-il des antécédents ?
$f(x) = \frac{1}{x^{2} + 1} = 0 \Leftrightarrow1 = x^{2} + 1 \Leftrightarrow x^{2} = 1-1$

$\frac{1}{2}$ a t-il des antécédents ?
$f(x) = \frac{1}{x^{2}+ 1} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 1 = \frac{1}{2} * -(x^{2} + 1)$

[Job]

Bonjour

1) Il faut conclure
$x^2+1\neq 0 \Longleftrightarrow x^2\neq (-1)$ ce qui est toujours vrai car un carré est toujours positif.

2) Calculs exacts.

3) $\frac{1}{x^2+1}=2 \Longleftrightarrow x^2+1=\frac{1}{2}\Longleftrightarrow x^2=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$
Or un carré est toujours positif donc cette équation n'a pas de solution et 2 n'a pas d'antécédent.

Une fraction est nulle si son numérateur est égal à 0, or le numérateur de $f(x)$ est égal à 1 donc 0 n'a pas d'antécédent.

$\frac{1}{x^2+1}=\frac{1}{2} \Longleftrightarrow x^2+1=2\Longleftrightarrow x^2=2-1=1$
Donc 2 a deux antécédents : 1 et (-1).