Produit scalaire sur un dessin

[yann]

Bonsoir ,

il est possible de vérifier les propriétés suivantes en les testant sur un dessin :

$\overrightarrow{u} . 0 = 0$

$\overrightarrow{u} .\overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} .\overrightarrow{u}$

$k .(\overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v}) = k.\overrightarrow{u} + k .\overrightarrow{v}$

$\overrightarrow{u}.( \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}) = \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} +\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}$

$(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) (\overrightarrow{w}+\overrightarrow{x})= \overrightarrow{u} .\overrightarrow{x}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}+ \overrightarrow{v}.\overrightarrow{w}+\overrightarrow{v}.\overrightarrow{x}$

pour la première propriété $\overrightarrow{u} . 0 = 0$
je n'ai pas compris que c'est égal à 0
je fait déjà attention de ne pas écrire $\overrightarrow{u} . 0 = \overrightarrow{0}$

pour la deuxième propriété
il s'agit de l'associativité
j'ai joint un dessin :
si je multiplie le vecteur AH par le vecteur AB et bien ,on peut dire que le produit scalaire de AB par AH est le produit de la longueur du premier vecteur par le projeté orthogonal du deuxième

AB * AH = AH * AB


ensuite pour les deux dernières propriétés ,je n'ai pas d'idées
Pouvez vous m'aidez ? s'il vous plait

[Job]

Bonjour

Ce n'est pas toujours très clair. Le produit scalaire est en principe noté avec un point et quand on multiplie un vecteur par un réel, on ne met rien.

1) Je présume qu'il s'agit de $\overrightarrow u \cdot \overrightarrow 0 =0$
Si $\overrightarrow u =\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow 0 =\overrightarrow {AA}$, le projeté de $\overrightarrow {AA}$ sur $\overrightarrow {AB}$ est $\overrightarrow {AA}$ et $\overline{AB} \times \overline {AA}=0$

2) Il s'agit de la commutativité et non de l'associativité.
On projette $\overrightarrow {AC}$ sur $\overrightarrow {AB}$ : $\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = \overline{AB}\times \overline {AH}$.
Puis on projette $\overrightarrow {AB}$ sur $\overrightarrow {AC}$ : $\overrightarrow v \cdot \overrightarrow u = \overline{AC}\times \overline {AK}$.
Donc $\overline{AB}\times \overline {AH}=\overline{AC}\times \overline {AK}$

3) Il n'y a pas de produit scalaire car $k$ est un réel.
On construit le point $D$ par la règle du parallélogramme tel que $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AC}=\overrightarrow u +\overrightarrow v$
On choisit par exemple $k=2$. On construit $B'$ , $C'$ et $D'$ tels que $\overrightarrow{AB'}=2\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AC'}=2\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD'}=2\overrightarrow{AD}$
On constate que $\overrightarrow{AD'}=\overrightarrow{AB'} +\overrightarrow{AC'}$ soit $k(\overrightarrow u +\overrightarrow v)=k\overrightarrow u +k\overrightarrow v$

4) Il s'agit cette fois de produit scalaire. On part de 3 vecteurs : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow u\ ;\ \overrightarrow{AC}=\overrightarrow v\ ;\ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow w$. On construit $E$ tel que $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC} +\overrightarrow{AD} =\overrightarrow v +\overrightarrow w$
On projette $\overrightarrow{AB}$ sur $\overrightarrow{AE}$ ce qui donne $\overrightarrow u\cdot (\overrightarrow v +\overrightarrow w)$
On projette $\overrightarrow{AB}$ sur $\overrightarrow{AC}$ et sur $\overrightarrow{AD}$ ce qui donne $\overrightarrow u\cdot \overrightarrow v$ et $\overrightarrow u\cdot \overrightarrow w$

5) Même travail que dans le 4

[yann]

Bonsoir Job,
merci beaucoup pour m'avoir expliqué la démonstration des propriétés du produit scalaire

je voudrais revenir à la propriété 3

$k . (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) = k . \overrightarrow{u} + k . \overrightarrow{v}$
Vous dites que :
on construit le point D par la règle du parallélogramme , $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$

je fais un rapprochement en Physique :
imaginons que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont deux forces appliquées à un objet A

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}$


la somme des deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ est la résultante de forces et cette résultante donne la direction vers laquelle se déplace A
$\overrightarrow{AD}$est le vecteur somme de ces deux vecteurs
c'est bien cela ??

[Job]

Bonjour

Oui l'interprétation avec la Physique est correcte.