Dm fontions polynome du second degré

[Letitiavdr]

Bonjour j'ai besoin d'aide svppp , sur un dm de math que je comprend pas trop.

La coupe du monde approche à grands pas et les entraînements s'enchaînent !
A midi, le soleil étant au zénith, un gardien de but travaille ses dégagements.
La trajectoire d'un de ses dégagements peut être modélisée par la courbe de la fonction f telle que :
f ( x)= -1/240x²+70/240x+0,6
x étant la distance, en mètres, entre la position du gardien et l'ombre au sol du ballon.
f ( x) étant la hauteur, en mètres, où se trouve le ballon, comme illustré ci-dessous.

1. Calculer f (0) et expliquer à quoi correspond f (0) dans le contexte du problème.

2. Léo souhaite avoir les réponses aux deux questions suivantes:
• Quelle hauteur mjavascript:format('code')aximale va être atteinte par le ballon ?
• A quelle distance du gardien le ballon va-t-il toucher le sol ?

Aide: Pour la deuxième question, on pourra montrer que la forme canonique de f est:

f (x )=-1/240(x-35)²+1369/240
Utiliser cette expression pour répondre à la question...

3. Un joueur, situé à 63m du gardien, mesurant 1,65m, veut dévier la trajectoire du ballon de la
tête.
Sachant qu'il est capable de s'élever de 60 cm du sol en sautant verticalement (détente),
parviendra-t-il à effectuer cette déviation ?

merci

[Job]

Bonjour

1. $f(0)=0,6$. C'est la hauteur à laquelle se trouve le ballon quand le gardien va tirer.

2. On factorise par $-\frac{1}{240}$ : $f(x)=-\frac{1}{240} (x^2 -70 x )+0,6$
$x^2+70x$ est le début du développement d'un carré dont le premier terme est $x$ et $-70x$ le double produit donc le produit des 2 termes est $-35x$
$(x-35)^2 =x^2-70x+1225$ donc $x^2+70x =(x-35)^2-1225$
On a alors $f(x)=-\frac{1}{240} [(x-35)^2 -1225]+0,6=-\frac{1}{240} (x-35)^2+\frac{1225}{240}+\frac{144}{240}=-\frac{1}{240} (x-35)^2+\frac{1369}{240}$

$-\frac{1}{240} (x-35)^2\leq 0$ donc la valeur maximale de $f(x)$ est $\frac{1369}{240}\simeq 5,7$
La hauteur maximale atteint par le ballon est donc de 5,7m.

Le ballon va toucher le sol lorsque $f(x)=0$ soit lorsque $(x-35)^2=1369$ donc $x-35=\sqrt{1369}$ soit $x=35+\sqrt{1369}=72.$
Donc à 72m du gardien.

3. $f(63)=-\frac{1}{240}(63-35)^2+\frac{1369}{240}=\frac{585}{240}=2,4375$
1,65 + 0,6=2,25. Donc la tête du joueur est au maximum à 2,25 m du sol et le joueur ne peut donc pas atteindre le ballon qui est à 2,4375 m du sol.

[Letitiavdr]

Merciii beaucoup, par contre j'ai pas compris comment vous avez trouvé la question 2, sa vous derange de me m'expliquer commet vous avez trouvé la reponse ?

[Job]

Merciii beaucoup, par contre j'ai pas compris comment vous avez trouvé la question 2, sa vous derange de me m'expliquer commet vous avez trouvé la reponse ?

Est-ce le calcul ou bien l'interprétation des questions ?

[Letitiavdr]

je ne sais pas si j'ai bien compris l'interprétation, mais le calcul je ne l'ai pas compris

[Job]

Pour le calcul, on peut prendre le problème dans l'autre sens en partant de l'expression qui était donnée.

On commence par développer le carré avec l'identité remarquable
$-\frac{1}{240}(x-35)^2 +\frac{1369}{240}=-\frac{1}{240} (x^2-2x\times 35 +35^2)+\frac{1369}{240}=-\frac{1}{240}(x^2-70x+1225)+\frac{1369}{240}$
On développe ce qui donne :
$-\frac{1}{240}x^2+\frac{70}{240}x -\frac{1225}{240}+\frac{1369}{240}=-\frac{1}{240}x^2+\frac{70}{240}x+\frac{144}{240}=-\frac{1}{240}x^2+\frac{70}{240}x+0,6$
Ce qui est bien l'expression de $f(x)$

[Letitiavdr]

désolé je me suis mal exprimée, j'aipas compris vos calculs pour trouver a quelle distance du gardien le ballon va-t-il toucher le sol. excusez moi

[Job]

Le ballon décrit une courbe, $f(x)$ représentant la hauteur à laquelle se trouve le ballon, il touche donc le sol lorsque $f(x)=0$. Il faut donc résoudre l'équation $f(x)=0$ et la solution représente la distance entre le gardien et l'endroit où le ballon touche le sol.

[Letitiavdr]

Moi pour la 2) j'avais essayé de la faire et j'ai trouvé ça:
\frac{-1}{240}\left(x-35 \right)²+\frac{1369}{240}=0
\frac{-1}{240}\left[\left(x-35 \right)²+1369 \right]=0
\frac{-1}{240}\left[\left(x-35 \right)²+37² \right]=0
\frac{-1}{240}\left[\left(x-35 \right)-37 \right]\left[\left(x-35 \right)+37 \right]=0
\frac{-1}{240}\left(x-72 \right)\left(x+2 \right)=0
x-72=0 x+2=0
x=72 x=-2
le ballon va toucher le sol a 72m et -2 m du gardien.
c'est juste?

[Letitiavdr]

Moi pour la 2) j'avais essayé de la faire et j'ai trouvé ça:
-1/240(x-35)²+1369/240=0
-1/240[(x-35)²-1369]=0
-1/240[(x-35)²-37²]=0
-1/240[(x-35)-37][(x-35)+37)]=0
-1/240(x-72)(x+2)=0

x-72=0 x+2=0
x=72 x=-2
le ballon va toucher le sol a 72m et -2 m du gardien.
c'est juste?