calcul dans IR
calcul dans IR
Bonsoir, je voudrais de l'aide pour ces deux exercices. MERCI D'AVANCE
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Re: calcul dans IR
Bonjour
Exercice 1
1) $-\frac{1}{2}\leq x \leq \frac{1}{2}$ donc $-\frac{1}{2}\leq (-x) \leq \frac{1}{2}$ et $\frac{1}{2} \leq 1-x\leq \frac{3}{2}$
2) $\frac{1}{1-x}-(1+x)=\frac{1-(1-x^2)}{1-x}=\frac{x^2}{1-x}$
$1-x\geq \frac{1}{2} $ donc $0<\frac{1}{1-x}\leq 2$ et $\frac{x^2}{1-x}\leq 2x^2$
La différence entre $\frac{1}{1-x}$ et $1+x$ est inférieure à $2x^2$.
3) $1+\frac{x}{2} \geq 1+(-\frac{1}{4})=\frac{3}{4}$
$\sqrt{1+x}\geq \sqrt{\frac{1}{2}}>\frac{1}{2}$
En additionnant $1+\frac{x}{2} +\sqrt{1+x}\geq \frac{5}{4}$
On multiplie par l'expression conjuguée :
$(1+\frac{x}{2})-\sqrt{1+x}=\frac{((1+\frac{x}{2})-\sqrt{1+x})((1+\frac{x}{2})+\sqrt{1+x})}{(1+\frac{x}{2})+\sqrt{1+x}}=\frac{1+x+\frac{x^2}{4}-(1+x)}{(1+\frac{x}{2})+\sqrt{1+x}}=\frac{\frac{x^2}{4}}{(1+\frac{x}{2})+\sqrt{1+x}}$
$(1+\frac{x}{2})+\sqrt{1+x}\geq \frac{5}{4}$ donc $\frac{\frac{x^2}{4}}{(1+\frac{x}{2})+\sqrt{1+x}}\leq \frac{x^2}{4} \times\frac{4}{5}=\frac{x^2}{5}$
La différence entre $\sqrt{1+x}$ et $1+\frac{x}{2}$ est inférieure à $\frac{x^2}{5}$
4) $\frac{1}{0,9998}=\frac{1}{1-0,0002}$ donc en appliquant le résultat de la question 2, ce nombre a pour valeur approchée $1+0,0002=1,0002$ avec une incertitude de $2\times 0,0002^2=8\cdot 10^{-8}$
Il y a, je crois, une erreur dans le texte. Je pense qu'il s'agit de $\sqrt{1,00015}$
$\sqrt{1,00015}=\sqrt{1+0,00015}$ donc en appliquant le résultat de la question 3, ce nombre a pour valeur approchée :
$1+\frac{0,00015}{2}=1,000075$ avec une incertitude de $\frac{0,00015^2}{5}=4,5\cdot 10^{-9}$
Exercice 1
1) $-\frac{1}{2}\leq x \leq \frac{1}{2}$ donc $-\frac{1}{2}\leq (-x) \leq \frac{1}{2}$ et $\frac{1}{2} \leq 1-x\leq \frac{3}{2}$
2) $\frac{1}{1-x}-(1+x)=\frac{1-(1-x^2)}{1-x}=\frac{x^2}{1-x}$
$1-x\geq \frac{1}{2} $ donc $0<\frac{1}{1-x}\leq 2$ et $\frac{x^2}{1-x}\leq 2x^2$
La différence entre $\frac{1}{1-x}$ et $1+x$ est inférieure à $2x^2$.
3) $1+\frac{x}{2} \geq 1+(-\frac{1}{4})=\frac{3}{4}$
$\sqrt{1+x}\geq \sqrt{\frac{1}{2}}>\frac{1}{2}$
En additionnant $1+\frac{x}{2} +\sqrt{1+x}\geq \frac{5}{4}$
On multiplie par l'expression conjuguée :
$(1+\frac{x}{2})-\sqrt{1+x}=\frac{((1+\frac{x}{2})-\sqrt{1+x})((1+\frac{x}{2})+\sqrt{1+x})}{(1+\frac{x}{2})+\sqrt{1+x}}=\frac{1+x+\frac{x^2}{4}-(1+x)}{(1+\frac{x}{2})+\sqrt{1+x}}=\frac{\frac{x^2}{4}}{(1+\frac{x}{2})+\sqrt{1+x}}$
$(1+\frac{x}{2})+\sqrt{1+x}\geq \frac{5}{4}$ donc $\frac{\frac{x^2}{4}}{(1+\frac{x}{2})+\sqrt{1+x}}\leq \frac{x^2}{4} \times\frac{4}{5}=\frac{x^2}{5}$
La différence entre $\sqrt{1+x}$ et $1+\frac{x}{2}$ est inférieure à $\frac{x^2}{5}$
4) $\frac{1}{0,9998}=\frac{1}{1-0,0002}$ donc en appliquant le résultat de la question 2, ce nombre a pour valeur approchée $1+0,0002=1,0002$ avec une incertitude de $2\times 0,0002^2=8\cdot 10^{-8}$
Il y a, je crois, une erreur dans le texte. Je pense qu'il s'agit de $\sqrt{1,00015}$
$\sqrt{1,00015}=\sqrt{1+0,00015}$ donc en appliquant le résultat de la question 3, ce nombre a pour valeur approchée :
$1+\frac{0,00015}{2}=1,000075$ avec une incertitude de $\frac{0,00015^2}{5}=4,5\cdot 10^{-9}$
Re: calcul dans IR
Exercice 2
a) $5\leq 1-3x<6$ soit $4\leq -3x<5$ donc $-\frac{5}{3}<x\leq -\frac{4}{3}$.
$S=]-\frac{5}{3},-\frac{4}{3}]$
b) $E(X)\leq X<E(X)+1$
Avec $X=2x+\sqrt 3$ et $E(X)=2-x$, on a $2-x\leq 2x+\sqrt 3 <3-x$
En ajoutant $x$ : $2\leq 3x-\sqrt 3<3$ soit $2+\sqrt 3\leq 3x<3+\sqrt 3$ donc $\frac{2+\sqrt 3}{3} \leq x < \frac{3+\sqrt 3}{3}$
$S=[\frac{2+\sqrt 3}{3} , \frac{3+\sqrt 3}{3}[$
c) Avec $X=\frac{x}{3}+\frac{1}{2}$ et $E(X)=\frac{x}{2}$ on a : $ \frac{x}{2} \leq \frac{x}{3}+\frac{1}{2} < \frac{x}{2}+1$
$0\leq \frac{x}{3}+\frac{1}{2}-\frac{x}{2}<1$
$0\leq -\frac{x}{6}+\frac{1}{2}<1$
$-\frac{1}{2}\leq -\frac{x}{6}<\frac{1}{2}$
$\frac{1}{2} \geq \frac{x}{6}>-\frac{1}{2}$
$3\geq x>-3$
$S=]-3 , 3]$
a) $5\leq 1-3x<6$ soit $4\leq -3x<5$ donc $-\frac{5}{3}<x\leq -\frac{4}{3}$.
$S=]-\frac{5}{3},-\frac{4}{3}]$
b) $E(X)\leq X<E(X)+1$
Avec $X=2x+\sqrt 3$ et $E(X)=2-x$, on a $2-x\leq 2x+\sqrt 3 <3-x$
En ajoutant $x$ : $2\leq 3x-\sqrt 3<3$ soit $2+\sqrt 3\leq 3x<3+\sqrt 3$ donc $\frac{2+\sqrt 3}{3} \leq x < \frac{3+\sqrt 3}{3}$
$S=[\frac{2+\sqrt 3}{3} , \frac{3+\sqrt 3}{3}[$
c) Avec $X=\frac{x}{3}+\frac{1}{2}$ et $E(X)=\frac{x}{2}$ on a : $ \frac{x}{2} \leq \frac{x}{3}+\frac{1}{2} < \frac{x}{2}+1$
$0\leq \frac{x}{3}+\frac{1}{2}-\frac{x}{2}<1$
$0\leq -\frac{x}{6}+\frac{1}{2}<1$
$-\frac{1}{2}\leq -\frac{x}{6}<\frac{1}{2}$
$\frac{1}{2} \geq \frac{x}{6}>-\frac{1}{2}$
$3\geq x>-3$
$S=]-3 , 3]$