calcul dans IR

[syne1]

Bonjour, je voudrais de l'aide pour cet exercice. MERCI D'AVANCE

[Job]

Bonjour

1) $y=\frac{1-2x}{4}$
$x^2+y^2=x^2+\frac{1-4x+4x^2}{16}=\frac{1-4x+20x^2}{16}$
$x^2+y^2-\frac{1}{20}=\frac{1-4x+20x^2}{16}-\frac{1}{20}=\frac{5-20x+100x^2-4}{80}=\frac{100x^2-20x+1}{80}=\frac{(10x-1)^2}{80}\geq 0$
donc $x^2+y^2\geq \frac{1}{20}$

2) a) $(a-b)^2=a^2+b^2-2ab\geq 0$ donc $a^2+b^2\geq 2ab$
$1=(a+b)^2=a^2+b^2 +2ab\geq 2ab+2ab=4ab$ donc $ab\leq \frac{1}{4}$
$a^2+b^2=1-2ab$ ; $ab\leq \frac{1}{4} \Longrightarrow -2ab\geq -\frac{1}{2}$ donc $a^2+b^2\geq 1-\frac{1}{2} =\frac{1}{2}$

b) $(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2=a^2+2+\frac{1}{a^2}+b^2+2+\frac{1}{b^2}=a^2+b^2 +\frac{b^2+a^2}{a^2b^2}+4=(a^2+b^2)(1+\frac{1}{a^2b^2})+4$
En utilisant les résultats du a) : $ab\leq \frac{1}{4}\Longrightarrow a^2b^2\leq \frac{1}{16}$ donc $\frac{1}{a^2b^2}\geq 16$
$(a^2+b^2)(1+\frac{1}{a^2b^2})+4\geq \frac{1}{2} (1+16)+4=\frac{25}{2}$

3) Soit $x$ le nombre de dizaines d'un nombre $N$ se terminant par 5.
$N=10x+5$ donc $N^2=(10x+5)^2=100x^2+100x +25 =100x(x+1)+25$
Le nombre de centaines de $N^2$ est donc $x(x+1)$ et le nombre se termine par 25.