Arithmetique

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Habiba
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Message par Habiba » 08 janvier 2023, 17:33

On a x y et z 3 entiers naturels et aucun d'eux n'est divisible par 3, montrer que x²+y²+z² est divisible par 3. De l'aide svp 😭

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Job
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Re: Arithmetique

Message par Job » 09 janvier 2023, 11:24

Bonjour

Si un entier n'est pas divisible par 3, le reste dans la division par 3 de ce nombre est 1 ou 2.

Si $x=3n+1$ alors $x^2=(3n+1)^2 =9n^2 +6n +1=3(3n^2+2n)+1$

Si $x=3n+2$ alors $x^2=(3n+2)^2 =9n^2 +12n+4=9n^2+12n+3+1=3(3n^2+4n+1)+1$

Donc, dans la division par 3, le carré d'un entier non divisible par 3 est toujours 1.

Par conséquent $x^2+y^2+z^2=(3a+1)+(3b+1)+(3c+1)=3a+3b+3c+3=3(a+b+c+1)$

Donc $x^2+y^2+z^2$ est divisible par 3.

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