Nombres composés avec des racines carrées

Aide au niveau troisième et brevet des collèges.
iMatheux
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Nombres composés avec des racines carrées

Message par iMatheux » 26 février 2016, 16:26

Bonjour,

- On donne les couples de valeurs suivantes des réels $A$ et $B$; calculer pour chacun de ces couples les carrés $A^2$ et $B^2$; en déduire la relation qui existe entre $A$ et $B$.
1°) $A=1+\sqrt{5};\ B=\sqrt{6+2\sqrt{5}}$
2°) $A=\sqrt{2}-3;\ B=\sqrt{11-6\sqrt{2}}$
3°) $A=\sqrt{3}-2;\ B=\sqrt{7-4\sqrt{3}}$
4°) $A=\sqrt{5}-\sqrt{3};\ B=\sqrt{8-2\sqrt{15}}$.

- Réponses :
1°) $A^2=(1+2\sqrt{5})^2=1+2\sqrt{5}+5=6+2\sqrt{5}$; $B^2=\Big(\sqrt{6+2\sqrt{5}}\Big)^2=6+2\sqrt{5}$;
2°) $A^2=(\sqrt{2}-3)^2=2-6\sqrt{2}+9=11-6\sqrt{2}$; $B^2=\Big(\sqrt{11-6\sqrt{2}}\Big)^2=11-6\sqrt{2}$;
3°) $A^2=(\sqrt{3}-2)^2=3-4\sqrt{3}+4=7-4\sqrt{3}$; $B^2=\Big(\sqrt{7-4\sqrt{3}}\Big)^2=7-4\sqrt{2}$;
4°) $A^2=(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2=5-2\sqrt{3}\sqrt{5}+3=8-2\sqrt{15}$; $B^2=\Big(\sqrt{8-2\sqrt{15}}\Big)^2=8-2\sqrt{15}$.
- Comme dans chaque cas on a : $A^2=B^2$, j'en déduis :
$A^2=B^2 \Longleftrightarrow A^2-B^2=0 \Longleftrightarrow (A+B)(A-B)=0$;
Finalement : $A=B$ ou $A=-B$.
Remarque : comment sont construits les nombres $A$ et $B$ ?

Merci pour la réponse :)

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Job
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Re: Nombres composés avec des racines carrées

Message par Job » 26 février 2016, 20:30

Bonsoir

Effectivement $A^2=B^2$ mais certaines valeurs de $A$ sont positives et d'autres sont négatives donc je pense que la réponse attendue est : $B=\sqrt{A^2}$ en remarquant que $\sqrt{A^2}$ n'est pas toujours égal à $A$.

iMatheux
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Re: Nombres composés avec des racines carrées

Message par iMatheux » 26 février 2016, 21:23

Merci pour ta réponse.

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