Petit Pb avec racines carrées

Aide au niveau troisième et brevet des collèges.
iMatheux
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Petit Pb avec racines carrées

Message par iMatheux » 24 février 2016, 10:12

Bonsoir,
Je sollicite votre aide pour la correction et les remarques :

Soient $x$ et $y$ deux réels positifs; on pose :
$A= \sqrt{x}+\sqrt{y}\ ; B= \sqrt{x+y}$
- 1) Démontrer l'égalité : $A^{2}-B^{2}=2\sqrt{xy}$
En déduire une relation d'ordre entre $A$ et $B$.
- 2) Comment faut il choisir les nombres $x$ et $y$ pour que l'on ait l'égalité : $A=B$ ?
- 3) Vérifier l'identité : $(\sqrt{x}- \sqrt{y} )^2 =x+y-2 \sqrt{xy}$
En déduire la relation que doivent vérifier $x$ et $y$ pour que l'on ait l'égalité : $A^{2} =2 B^{2}$


- 1) $A^{2} -B^{2}=(\sqrt{x}+ \sqrt{y})^2-(\sqrt{x+y})^2=( \sqrt{x})^2+2 \sqrt{xy}+(\sqrt{y})^2\\ -(x+y)=x+2\sqrt{xy}+y-x-y=2\sqrt{xy}$
On a donc : $A^2-B^2=2\sqrt{xy}$ et quel que soit le couple $(x,y)$,
$2\sqrt{xy} \geq 0 \Longleftrightarrow A^2-B^2\geq 0\Longleftrightarrow A^2\geq B^2 \Longleftrightarrow A\geq B$

- 2) $A=B \Longleftrightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{x+y}$
Les 3 solutions faciles à voir, mais sans démontrer (comment ?) :
$x=0$ et $y=0$, $x=0$ et $y$ quelconque, $x$ quelconque et $y=0$.
Il en existe d'autres ?

- 3) $(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2=(\sqrt{x})^2-2\sqrt{xy}+(\sqrt{y})^2=x+y-2\sqrt{xy}$
$A^2=2B^2 \Longleftrightarrow (\sqrt{x}+ \sqrt{y})^2=2( \sqrt{x+y})^2 \Longleftrightarrow x+y+2\sqrt{xy}=2(x+y)$
Après simplification et regroupement :
$x+y-2\sqrt{xy}=(\sqrt{x}- \sqrt{y} )^2=0$
Finalement, nous avons :
$(\sqrt{x}- \sqrt{y} )^2=0 \Longleftrightarrow \sqrt{x}- \sqrt{y}=0 \Longleftrightarrow \sqrt{x}= \sqrt{y} \Longleftrightarrow x=y$

En conclusion :
je ne sais pas si c'est toujours justifié, mais j'ai raisonné par équivalence car les nombres $x$ et $y$ sont donnés positifs ?
Encore Merci.

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Job
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Re: Petit Pb avec racines carrées

Message par Job » 24 février 2016, 12:41

Bonjour

Pour la question 2) en utilisant la première question,
$A=B\Longleftrightarrow A^2-B^2=0 \Longleftrightarrow 2\sqrt{xy}=0 \Longleftrightarrow xy=0$
Un produit de facteurs est nul si au moins un des facteurs est nul donc $xy=0$ si et seulement si au moins un des nombres $x$ ou $y$ est nul.

Pour le reste, je n'ai rien à ajouter.

iMatheux
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Re: Petit Pb avec racines carrées

Message par iMatheux » 24 février 2016, 14:00

Merci :)

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