Nombres à 6 chiffres

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JPR42
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Nombres à 6 chiffres

Message par JPR42 » 11 juin 2016, 08:06

Problème:
On dispose de 6 sphères contenant chacune les 10 chiffres (0,1,2 .... 9) -
On prélève de chaque sphère UN chiffre (que l'on replace) pour obtenir un nombre à 6 chiffres.
Tous les nombres de 000000 à 999999 peuvent ainsi être formés.
On peut les rassembler en 6 groupes:
G6: nombres à 6 chiffres différents (ex:368294)
G5: nombres à 5 chiffres différents (ex:116457)
Etc ...
G2: nombres à 2 chiffres différents (ex:566555)
G1: nombres comportant 1 seul chiffre (ex:777777)
Question: comment les nombres vont-ils être répartis dans les 6 groupes ... et pourquoi?
J'ai lu (il y a longtemps) quelque part, que pour G1, c'est 10 nombres ... et je comprends bien pourquoi, et pour G2 c'est ... 2790 ... et là, je perds déjà pied. Alors pour la suite ...!
Merci d'avance pour votre aide.

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Job
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Re: Nombres à 6 chiffres

Message par Job » 11 juin 2016, 14:33

Bonjour

Pour G2
Il faut 2 chiffres à prendre parmi 10, donc le nombre de possibilités est $C_{10}^2=\frac{10\times 9}{2} =45$
Soit $a$ le plus petit des 2 chiffres. Dans le nombre, il peut figurer de 1 à 5 fois.
Si il figure 1 fois, il a 6 places possibles (les 5 autres étant occupées par le second chiffre)
Si il figure 2 fois, il y a $C_6^2=15$ emplacements possibles pour les 2 "$a$"
Si il figure 3 fois, il y a $C_6^3=20$ emplacements possibles pour les 3 "$a$"
Si il figure 4 fois, il y a $C_6^4=15$ emplacements possibles pour les 4 "$a$"
Si il figure 5 fois, il y a $C_6^5=6$ emplacements possibles pour les 5 "$a$"

G2 comprend donc : $45 (6+15+20+15+6)=2790 nombres.

Pour G6
Il faut 6 chiffres à prendre parmi 10 donc le nombre de possibilités est $C_{10}^6=210$
Les 6 chiffres étant choisis, il y a $6!=720$ manières de les ranger.

G6 comprend donc $210 \times 720 = 151200$ nombres

Pour les 3 autres, c'est nettement plus compliqué, je vais essayer d'y réfléchir.

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Job
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Re: Nombres à 6 chiffres

Message par Job » 11 juin 2016, 15:49

Finalement, ce n'est pas si compliqué. Il suffit d'être méthodique.

Pour G3
Il faut 3 chiffres parmi 10 donc $C_{10}^3=120$ possibilités pour le choix des chiffres.

Il y a 3 répartitions possibles :
* Un chiffre est représenté 4 fois et les 2 autres une seule fois.
Il y a 3 possibilités pour le chiffre représenté 4 fois ; ce chiffre peut occuper $C_6^4=15$ dispositions possibles et il y a permutation possible des 2 autres chiffres donc $3\times 15\times 2=90$ nombres de ce type.
* Un chiffre est représenté 3 fois, un second est représenté 2 fois et le troisième 1 fois.
Il y a 3 possibilités pour le chiffre représenté 3 fois, avec $C_6^3=20$ dispositions possibles.
Il reste 2 possibilités pour le chiffre représenté 2 fois avec $C_3^2=3$ dispositions possibles.
Donc $3\times 20 \times 2\times 3=360$ nombres de ce type.
* Chacun des 3 chiffres est représenté 2 fois.
Pour, par exemple, le plus petit $C_6^2=15$ dispositions possibles. Pour le second, il reste $C_4^2=6$ dispositions possibles, le troisième occupant les 2 dernières places. Soit au total : $15\times 6=90$ nombres de ce type.
Donc : $90+360+90=540$ nombres.

G3 comporte donc $120 \times 540 =64800$ nombres

Pour G4
Il faut 4 chiffres parmi 10 soit $C_{10}^4=210$ choix possibles.

Pour ces 4 chiffres, 2 répartitions possibles :
* Un chiffre est représenté 3 fois et les 3 autres une seule fois.
Il y a 4 choix pour le chiffre représenté 3 fois et $C_6^3=20$ dispositions possibles. Pour les 3 autres chiffres, il y a $3!=6$ manières de les ranger dans les 3 emplacements restants donc $4\times 20\times 6=480$ nombres de ce type
* Deux chiffres sont représentés 2 fois et les 2 autres une seule fois.
Il y a $C_4^2=6$ choix pour la paire de chiffres représentés 2 fois. Pour la première $C_6^2=15$ dispositions possibles, pour la seconde $C_4^2=6$ dispositions possibles. Les chiffres représentés une seule fois occupent les 2 dernières places avec 2 possibilités de permutations.
Donc $6\times 15\times 6\times 2 =1080$ nombres de ce type.

G4 comporte donc $210 (480+1080)=327 600$ nombres.

Pour G5
Il faut 5 chiffres parmi 10 soit $C_{10}^5=252$ choix possibles.
Un seul cas : un chiffre est représenté 2 fois donc 5 choix possibles pour ce chiffre et $C_6^2=15$ dispositions possibles pour les 2 représentants de ce chiffre. Pour les 4 autres : $4!=24$ permutations possibles dans les 4 emplacements restants.

G5 comporte donc : $252\times (5\times 15\times 24)=453600$ nombres.

On peut vérifier que la somme des 6 nombres calculés est bien égale à 1 000 000

JPR42
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Re: Nombres à 6 chiffres

Message par JPR42 » 11 juin 2016, 19:45

Oh là là, BRAVO ... et quelle rapidité.
Merci beaucoup.
J'avais retrouvé les réponses (qui sont -bien sûr- exactes) dans mes archives, mais ce sont les raisonnements qui me manquaient.
Je vais me plonger dedans, car, pour tout dire, les Calculs de Probabilités, c'est TRES loin pour moi ...
Il n'y a pas d'âge pour comprendre.
Me permettrez-vous de vous soumettre un Problème VECU:
En 1996/97 (mais cela n'a pas d'importance), dans "mon" Collège de l'Essonne:
Il y avait 4 niveaux (6ème, 5ème, 4ème, 3ème).
En niveau 5ème, 6 classes.
En 5ème"D" il y avait Elodie COquerelle et Elodie COlombo toutes deux nées le 03 mars 1985.
Dans ce niveau: 4 Elodie sur un total de 86 Filles.
Question: Quelle est la Probabilité pour que cet évènement ait eu lieu.
2 élèves aux prénoms identiques (Elodie),
Dans la même classe du Collège,
Dont le nom commence par CO,
Qui sont nées le même jour, de la même année.
On supposera que TOUS les élèves d'un même niveau ont la même Année de naissance.
On admettra que la première lettre des Patronymes a la même probabilité d'être représentée que les autres lettres,
et on envisagera les possibilités LOGIQUES, pour la 2ème lettre après le "C" (là on sort un peu des maths!) en admettant que les Paires formées sont toutes également probables.
Il y a, en France, environ 7000 Collèges ...
Personnellement, j'étais (à l'époque) parvenu au résultat arrondi de 1 chance sur plus de 400 milliards!
Pouvez-vous me le confirmer?
Avec mes remerciement anticipés.
Très cordialement. JPR.
PS: je ne suis plus depuis longtemps étudiant, rien ne presse donc ...

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Job
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Re: Nombres à 6 chiffres

Message par Job » 14 juin 2016, 14:17

Bonjour

C'est difficile de répondre.
Premier problème : dans quel univers se place-t-on ? Les filles (ou les élèves) en classe de 5ème au cours de l'année 1996/97 dans un collège en France ? Que cherche-t-on exactement : la probabilité que 2 Elodie C0.. se trouvent dans la même classe 5ème D d'un collège bien précis ?

Quelques éléments de réponses.
Je cherche la probabilité que 2 Elodie se trouvent dans la même classe.
86 n'étant pas divisible par 6, je considère qu'il y a 14 filles dans chaque classe de 5ème. Le nombre de manières de choisir 14 filles parmi 86 est égal à $C_{86}^{14}$
Sur les 14 élèves, il faut 2 Elodie parmi 4 et 12 élèves parmi 82 qui ne s'appellent pas Elodie donc $C_4^2\times C_{82}^{12}$
Donc la probabilité d'avoir 2 Elodie parmi les 14 filles est égale à :
$\frac{C_4^2\times C_{82}^{12}}{C_{86}^{14}}=6\times \frac{82!}{12!\times 70!}\times \frac{14!\times 72!}{86!}=\frac{6\times 13\times 14 \times 71\times 72}{83\times 84\times 85\times 86}\simeq 0,10953$

Si on veut que ceci se réalise dans une classe bien précise la 5ème D alors il faut multiplier par $\frac{1}{6}$

Si on veut que ces 2 Elodie aient la même date de naissance (ce n'est pas le même problème que celui qui consisterait à chercher la probabilité que 2 élèves de la classe aient la même date de naissance) alors la date de naissance d'Elodie Coquerelle étant fixée 3 Mars, la probabilité qu'Elodie Colombo ait la même date de naissance est de $\frac{1}{365}$

Probabilité pour que 2 patronymes commencent par la même paire de lettres. Faut-il éliminer certaines paires comme BB, CB, CC... ? Cela me paraît trop compliqué à envisager. Donc je dirais que la probabilité est égale à $\frac{1}{26^2}$

Enfin, en supposant que toutes les promotions d'élèves de 5ème en France soient à peu près identiques, la probabilité que l'événement se produise seulement dans "votre" collège este $\frac{1}{7000}$

Vous voyez qu'il y a beaucoup trop d'incertitudes et d'approximations pour répondre vraiment à la question.
Il s'agit d'un événement rare donc la probabilité peut être assimilée à 0.

Le calcul des probabilités est très intéressant, j'aime beaucoup ça, mais quand le cadre n'est pas précis on peut difficilement modéliser la situation et arriver à un résultat.

Cordialement
Job

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Re: Nombres à 6 chiffres

Message par JPR42 » 14 juin 2016, 15:29

Merci JOB pour cette réponse ... dont je me doutais un peu ...
Et plus que merci pour ce temps consacré à ... ma curiosité.
Pour ce qui est de la deuxième lettre du NOM, j'avais prévenu que nous sortions du cadre des Mathématiques.
J'étais personnellement arrivé au résultat suivant, en restant dans une LOGIQUE "française":
9 paires de lettres: CA, CE, CH, CI, CL, CO, CR, CU, CY possibles -
Je trouve que cet exemple "vécu de très près" est intéressant car il montre "de facto" que ce qui parait IMPOSSIBLE n'est "que" hautement IMPROBABLE. Et cette constatation peut mener (très) loin.
Les discussions avec mes élèves étaient ... animées, sur ce sujet (au départ, AUCUN n'était prêt à miser au LOTO sur une suite de style 1,2,3,4,5, 6, ... au prétexte que "cela ne s'était jamais produit" (sans doute...) depuis que le LOTO existe.
La GENETIQUE (en particulier la Génétique des Populations) liée aux Calculs de Probabilités m'a apporté également bien d'autres satisfactions du même ordre.
Je vais VOUS suivre avec grand plaisir dans la résolution des problèmes qui vous seront soumis.
Très cordialement. JPR.

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Re: Nombres à 6 chiffres

Message par Job » 15 juin 2016, 09:09

Bonjour

Pour les amateurs de probabilités, un livre à recommander :

Exercices ordinaires de Probabilités par Gérard Frugier.

Les textes des exercices sont drôles mais les exercices sont traités avec rigueur.

Cordialement

Job

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